基本介紹
- 中文名：覆蓋維數
- 外文名：coverdimension
- 別名：切赫-勒貝格維數
- 領域：數學
- 定義：拓撲空間的一種維數
- 空間：吉洪諾夫空間
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概念
覆蓋維數(covering dimension)是拓撲空間的一種維數。首先定義一個集族階的概念。設A是集合X的子集族。若A中存在具有非空交的n+1個集合，則上述n的最大值稱為A的階；若上述n的最大值不存在，則稱A的階為∞。設X為吉洪諾夫空間，n表示大於或等於-1的整數。則：
1.當X的任意有限的函式開覆蓋都具有階數不超過n的有限的函式開加細時，規定dim X≤n。
2.當dim X≤n，並且dim X≤n-1不成立時，規定dim X=n。
3.當對於任意自然數n，dim X≤n皆不成立時，規定dim X=∞。
於是對於任意吉洪諾夫空間X確定的dim X，稱為X的切赫-勒貝格維數或覆蓋維數。若空間X與Y同胚，則dim X=dim Y。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
