蚌線

蚌線是一種特殊曲線。沿給定平面曲線C：ρ=f(θ)的極徑方向增加或減少一個定長線段b，這樣得到的曲線ρ=f(θ)±b稱為曲線C的蚌線，或稱為一般蚌線，圓的蚌線就是帕斯卡蝸線。

直線l的蚌線稱為尼科米迪斯蚌線，通常的蚌線就是指尼科米迪斯蚌線，它的極坐標方程是ρ=a sec θ±b，蚌線有兩支，都以定直線l為漸近線，一支與定點O位於定直線的同側，稱為蚌線的內支，另一支與定點O位於定直線的異側，稱為蚌線的外支。它們都關於極軸對稱，在廣義極坐標系下，方程ρ=a sec θ+b與ρ=a sec θ-b表示相同的曲線，化為直角坐標方程就是(x²+y²)(x-a)²=b²x²，這方程表示的曲線，當a>b時含有一個孤立點O，當a=b或a<b時，原點O是尖點或結點，尼科米迪斯(Nicomedes)在研究任意角三等分時發現了蚌線。

基本介紹

• 中文名：蚌線
• 外文名：Conchoid
• 發現人：尼科米迪斯
• 舉例：尼科米茲蚌線、蝸牛線等

基本概念

設某一曲線和一個定點O(這一點，我們把它叫作“極”)，過點O引一束射線，並且在每一條射線上從它和已知曲線的交點向兩邊作等長的線段，這些線段末端的軌跡就是一種新的曲線，叫作原曲線關於已知極的蚌線。

尼科米茲蚌線

尼科米茲(Nicomedes)蚌線是直線的蚌線（圖1）。

圖1直線的蚌線

定義

尼科米茲蚌線的定義是把蚌線定義中的已知曲線改成已知直線就可以了，但我們也可以這樣來定義：

從定點O引直線OS交定直線 於 ，在OS上取一點P，使 (常數)，當OS繞O旋轉時，點P的這種軌跡稱為尼科米茲蚌線(圖2)。

圖2

尼科米茲蚌線的極坐標方程

取O為極點，作 ，垂足為 ，以射線OM為極軸 (圖2)。

設 為曲線上任一點，則 。

由 及 ，並設 ，得

即

但是 可以變形為 ，也就是 ，這說明如果 在曲線上。那么， 一定也在曲線 上，我們知道 與 是表示極坐標平面上同一點，所以方程 和 表示的是同一條曲線，因此方程可以統一表示為

這就是尼科米茲蚌線的極坐標方程。

尼科米茲蚌線的直角坐標方程為

圖3是各種類型的直線的蚌線。

圖3

對於尼科米茲蚌線 的圖形的分類，如圖4(a)(a>b)，圖4(b)(a=b)，圖4(c)(a<b)所示。

圖4（a）

圖4（b）

圖4（c）

蝸牛線

定義

蝸牛線的定義是只要把蚌線定義中的已知曲線換成已知圓就可以了，但我們也可以這樣來下定義：從圓周上定點O引直線OS，交圓於Q，在OS上取一點P，使 為一常數，當OS繞O旋轉時，動點P的軌跡稱為蝸牛線(圖5)。

圖5

蝸牛線的極坐標方程

取定點O為極點，設OA為定圓直徑，以射線OA為極軸 ，建立極坐標系(圖5)。

記定圓直徑為a， ， ，那么定圓的方程為 。

設 為蝸牛線上任一點，相應的 的坐標為 ，那么由於點 在定圓上，所以它的坐標滿足定圓方程，也就是

因為P在OQ或其延長線上，所以 ，因此點P的極坐標滿足方程

但是， 可以變形為 ，也就是 ，這說明如果 在曲線上，那么 也一定在曲線 上，我們知道 和表示的是極坐標平面上同一點，所以方程 和 表示的是同一條曲線，所以方程可以統一表示為

這就是蝸牛線的極坐標方程，化成直角坐標方程為

蝸牛線的分類

蝸牛線有三種情況：

(1)a>b時，稱長心臟線(圖6)．如果從外擺線角度看，它又是當 時的長外擺線；

(2)a=b時，稱心臟線(圖7)．從外擺線角度看，就是當 時的外擺線；

圖6 長心臟線 a&gt;b

圖7 心臟線 a=b

(3)a<b時，稱為短心臟線(圖8)，從外擺線角度看，就是當 時的短外擺線。

長心臟線和短心臟線又稱帕斯卡(pascal)蚶線。 ‘

從上面看出蝸牛線是蚌線的一種特殊情況，而心臟線又是蝸牛線的特殊情況。

圖 8 短心臟線 a&lt;b

心臟線的極坐標方程

心臟線的極坐標方程為：