心臟線

心臟線，也稱心形線，是外擺線的一種，亦為蚶線的一種，是一個圓上的固定一點在它繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周滾動時所形成的軌跡，因其形狀像心形而得名。心臟可以極坐標的形式表示： r =a( 1 - sin θ)。方程為ρ(θ) = a(1 + cosθ)的心臟線的面積為：S=3（πa^2）/2。

心臟線在曼德博集合正中間的圖形便是一個心臟線。心臟線的英文名稱“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》發表的；意為“像心臟的”。

基本介紹

• 中文名：心臟線
• 外文名：Cardioid
• 別稱：心形線
• 領域：數學
• 屬性：外擺線、蚶線的一種
• 表示形式：極坐標

基本性質

a=1時的心臟線的周長為 8，圍得的面積為3π/2。

心臟線亦為蚶線的一種。

在 Mandelbrot set 正中間的圖形便是一個心臟線。

心臟線的英文名稱“Cardioid”是 de Castillon 在 1741年 的《Philosophical Transactions of the Royal Society》發表的；意為“像心臟的”。

數學表達

極坐標方程

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

直角坐標方程

心形線的平面直角坐標系方程表達式分別為 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

參數方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所圍面積為3/2*PI*a^2，形成的弧長為8a。

心臟線的歷史

Christine是十七世紀時瑞典的一位公主，她美麗善良，而且很聰明，尤其很喜歡數學。有一天她換上了便服去王宮外面，路上看到很多乞丐，其中有一個很特別，他不主動請求過路人施捨，而是安靜地蹲在地上專心研究數學問題。那個人並不知道站在他眼前的小姐就是公主，只是很驚訝於這位年輕小姐言談之間顯露出來的數學才華，便很高興地和Christine交談起來。Christine公主這才知道，他原本是一個數學家，可惜因為某些原因在法國做數學不得志，窮困落魄，最後流浪到瑞典來的。於是Christine公主把這個數學家請到王宮裡做她的數學老師，兩個人一起討論數學問題，一起談天說地，日久天長，兩個人就這樣沉浸在只屬於他們兩個人的數學世界和愛情世界裡，很幸福，很快樂。

但是Christine的父親知道了女兒戀愛的事。這個固執的國王根本不把數學和數學家放在眼裡，他覺得那個法國小子配不上自己的女兒，於是強硬地拆散他們，把數學家驅散出境，永遠不許他邁進自己的國家一步，還扣壓了之後他寫給公主的所有的信……愛人離開之後的杳無音訊，使Christine變得沉默寡言，不再喜歡和任何人說話……因為這個世界上可以和她溝通討論的只有那個人啊！

那個人回到法國後感染上了黑死病，即將死去。他在臨死前給他的公主，他的愛人，Christine，寄出了第十三封信，也是最後一封。這一次國王拆了信卻看不懂他寫的是什麼。交給大臣們去看，大臣們也看不懂。請了很多數學家來看，還是看不懂。最後國王沒辦法，只好把信交還給了Christine。

Christine打開她的愛人留給她的最後的信，發現上面只有一個簡單的數學式：r = a(1-sinθ)。

是的，別人看不懂這是什麼，可是她知道！那是他們以前一起討論過的二維坐標呀。用代數來表示平面的幾何坐標，這個從來沒有人研究過的數學問題，全世界只有那個人和Christine知道，這是他和她之間的秘密。

於是她找出紙和筆，按照數學式畫起圖來……這是一顆心的形狀，後來人們就把它叫做心臟線。他還愛著她！他直到死都還愛著她。她知道。全世界只有她知道。

一直以來，人們以為這位用心臟線傳情的人就是笛卡爾，然而，據考證，笛卡爾於1649年冬，笛卡爾應瑞典女王克里斯蒂安（也就是上文的Christine）的邀請，來到了斯德哥爾摩，任宮廷哲學家，為瑞典女王授課(女王已經登基，笛卡爾也並沒有遭到驅逐）。1650年初患肺炎抱病不起，同年二月病逝於瑞典(不是在法國死於黑死病）。由此可見，故事中的數學家並非笛卡爾，要么另有其人，要么，這個故事只是美麗的謊言。

如何畫心臟線

示例：在MATLAB中，輸入下列指令，即可得到如圖1所示的心臟線：

圖1

i=-pi:0.1:pi;

x=2.*(sin(i)-sin(2*i)./2);

y=2.*(cos(i)-cos(i).^2);

plot(x,y)

此外，還可儀用逐點生成算法實現，詳見參考文獻。