虛根

虛根

虛根,顧名思義就是解方程後得到的是虛數,這樣的根叫虛根。虛數是為了滿足負數的平方根而產生的,規定根號-1為i。虛根一般只在二次或更高次的方程中出現。

基本介紹

  • 中文名:虛根
  • 外文名:imaginary root
  • 定義:方程的複數根
  • 相關概念:共軛虛根、複數等
定義,相關定理,定理一,推論1,推論2,推論3,定理2,定理3,定理4,定理5,

定義

虛根指的是方程的複數根。如果一個實係數整式方程有虛根,則其共軛複數也是所給方程的根(共軛根)。實係數二次方程
具有虛根的必要充分條件是

相關定理

定理一

如果實數係數方程
有虛根
,這裡a和b都是實數,
,那么它還有另一個虛根
這個定理叫做實數係數方程虛根成對定理,這個定理就是說,一個實數係數方程如果有虛根,那么共軛虛根
一定成對出現,下面我們用兩種方法來證明這個定理。
證明一 設用
所得的商是
,餘式是
,那么就有
因為被除式
和除式
的各項的係數都是實數,所
以商
和餘式
的各項的係數都是實數。
因為a+bi是方程
的根,所以
.因此,把
代入上式,得
就是
根據複數等於零的條件,得
因為
,所以從(2),得
,代入(1),得
,因此,
從而,
,由此可知,
的根。
證明二 因為a+bi是
的根,所以
因式,因此,
的最高公因式,只有兩種可能:或者是
,或者是
因為,
的各項的係數都是實數,它們的最高公因式的各項的係數也都是實數,而
的各項的係數不全是實數,所以
不是
最高公因式。因此,
的最高公因式,由此可知,
因此,
的根。
因為實數係數方程如果有虛根,共軛虛根
一定成對出現,所以我們可以得出下面的兩個推論。

推論1

實數係數奇次方程至少有一個實根,一般有奇數個實根。

推論2

實數係數偶次方程或者沒有實根,或者有偶數個實根。
因為實數係數方程
有一個實根c,
就有一個實數係數因式
和它對應,有一對虛根
就有一個實數係數因式
和它對應,所以我們又可以得出下面的推論。

推論3

實數係數多項式
一定是一次或者二次的實數係數不可約因式的積。

定理2

如果有理數係數方程
有無理根
,這裡a、b和d是有理數,
是無理數,
,那么它還有另一個無理根

定理3

如果有理數係數方程
有無理根
,這裡a、b、c和d是有理數,
無理數,ab≠0,那么它還有另外三個無理根

定理4

如果有理數係數方程
有一個根是
,這裡a、b和c是有理數,
是無理數,
,那么它還有另外三個根

定理5

如果有理數係數方程
有一個根是
,這裡a、b、c和d是有理數,
是無理數,
,那么它還有另外三個根
例1 已知方程
有一個根是
,解這個方程。
因為實數係數方程
有一個根是
,所以它還有一個根是
,用
.解得
因此,原方程的根是

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