基本介紹
- 中文名：等比數列公式
- 外文名：Geometric series formula
- 表達式：a_n=a_1\cdot q^{\left(n-1\right)}
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：數學
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等比數列產生的背景故事
根據歷史傳說記載，西洋棋起源於古印度，見諸於文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的．據說，有位印度教宰相見國王自負虛浮，決定給他一個教訓．他向國王推薦了一種在當時尚無人知曉的遊戲．國王當時整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過遊戲方式來排遣鬱悶的心情。
國王對這種新奇的遊戲很快就產生了濃厚的興趣，高興之餘，他便問那位宰相，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什麼賞賜．宰相開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8粒……即每一個次序在後的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數目的倍數，直到最後一個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了． “好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應了宗師的這個謙卑的請求．
這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接寫出數字來就是1844 6744 0737 0955 1615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內所產的小麥的總和！
如果造一個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，那么這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個來回。
國王哪有這么多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達依爾的一筆永遠也無法還清的債。
正當國王一籌莫展之際，王太子的數學教師知道了這件事，他笑著對國王說：“陛下，這個問題很簡單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會被它難倒？”國王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產的小麥都給他？”年輕的教師說：“沒有必要啊，陛下。其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數一粒，數完1844 6744 0737 0955 1615粒麥子所需要的時間，大約是5800億年（大家可以自己用計算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地數，數到他自己魂歸極樂，也只是數出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜。”國王恍然大悟，當下就召來宰相，將教師的方法告訴了他。西薩·班·達依爾沉思片刻後笑道：“陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了！”當然，最後宰相還是獲得了很多賞賜（沒有麥子）。
等比數列公式
（1）等比數列的通項公式是：
（2) 任意兩項
，
的關係為
(5) 等比求和：
①當q≠1時，
或
②當q=1時，
記
，則有
在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
等比數列性質
①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq；
②在等比數列中，當q≠-1，或q=-1且k為奇數時，依次每 k項之和仍成等比數列。
“G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”.
(5) 等比數列前n項之和
①當q≠1時，
或
②當q=1時，
注意：上述公式中a^n表示A的n次方。
等比數列在生活中也是常常運用的。
如：銀行有一種支付利息的方式---複利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。
按照複利計算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期
