等於(數學用語)

數學上，兩個數學對象是相等的，若他們在各個方面都相同，這就定義了一個二元謂詞等於，寫作“=”；x = y 若且唯若x 和y 相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了等式。

表示相等的符號。記作“=”，讀作“等於”。等號表示兩端的數字、算式是相等的。如：2+3=5，就是表示等號左邊的2加上3與右邊的5是相等的，7-2=2+3表示左右兩邊算式相等。

基本介紹

• 中文名：等於
• 外文名：equal to
• 領域：數學
• 符號：等號=
• 相關詞：不等於、約等於
• 構成：等式

概述

數學上，兩個數學對象是相等的，若他們在各個方面都相同。這就定義了一個二元謂詞等於，寫作“=”；x = y 若且唯若x 和y 相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了等式。

注意，有些時候“A = B”並不表示等式。例如，T（n）= O(n)表示在數量級 n上漸進。因為這裡的符號“=”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等於符號；實際上，O(n) = T（n）是沒有意義的。請參見大O符號了解這部分內容。

集合A 上的等於關係是種二元關係，滿足自反性，對稱性，反對稱性和傳遞性。 去掉對反對稱性的要求，就是等價關係。 相應的，給定集合A上的任意等價關係R，可以構造商集A/R，並且這個等價關係將‘下降為’A/R 上的等於。

在任何條件下都成立的等式稱為恆等式，包含未知數的等式稱為方程式。

基本性質

替代性：

對任意量a和b和任意表達式F（x），若a=b，則F（a）=F（b）（設等式兩邊都有意義）。

在一階邏輯中，不能量化像F這樣的表達式（它可能是個函式謂詞）。

一些例子：

• 對任意實數a，b，c，若a=b，則a+c=b+c（這裡F（x）為x+c）；
• 對任意實數a，b，c，若a=b，則a-c=b-c（這裡F（x）為x-c）；
• 對任意實數a，b，c，若a=b，則a'c=b'c（這裡F（x）為x'c）；
• 對任意實數a，b，c，若a=b且c不為零，則a/c=b/c（這裡F（x）為x/c）；

自反性：

對任意量a，a=a。

這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。

對稱性：

對任意量a和b，若a=b，則b=a。

傳遞性：

對任意量a，b，c，若a=b且b=c，則a=c。

實數或其他對象上的二元關係“約等於”，即使進行精確定義，也不具有傳遞性（即使看上去有，但許多小的差別能夠疊加成非常大的差別）。

儘管對稱性和傳遞性通常看上去是基本性質，但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。

邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理，從而形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，若且唯若它們有完全相同的性質。 形式化這一說法，可以寫成

• 對任意x 和y，x = y 若且唯若對任意謂詞P，P（x）若且唯若P（y）。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

• 對任意x 和y，若x 等於y，則P（x）若且唯若P（y）。

這條公理對任意單變數的謂詞P 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若x 和y 相等，則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

• 對任意x，x 等於x。

則若x 和y 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞P 是相同的。這裡謂詞P 為：P（z）若且唯若x = z。 由於P（x）成立，P（y）必定也成立（相同的性質），所以x = y（P 的變數為y）.

符號的歷史

“等於”符號或 “=”被用來表示一些算術運算的結果，是由Robert Recorde在1557年發明的。

由於覺得書寫文字過於麻煩，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長，表明其連線的兩個量也相等。這一發明在威爾斯的St Mary教堂有記錄。

約等於的符號是≈或≒，不等於的符號是≠。

表示相等關係的符號。相等是數學中最重要的關係之一，所以數學中很早就出現了表示相等的符號。古希臘數學家丟番圖(Diophantus)用“l”(有時用“ч”)表示相等，古印度人有用相當於pha的字母表示相等.近代的德國數學家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，J.)、義大利數學家帕喬利(Pacioli，L.)等人用破折號“——”表示相等.現代用的等號“=”稱為雷科德符號(Recorde's sign)，是英國數學家雷科德(Recorde，R.)在1557年出版的一本書《開端》(Début)中第一次作為等號使用的，但其推廣十分緩慢。後來，著名學者如德國數學家、天文學家克卜勒(Kepler，J.)、義大利數學家、物理學家伽利略(Galilei，G.)、法國數學家費馬(Fermat，P.de)等人一直用文字或縮寫語aequals，ae等表示相等。法國數學家笛卡兒(Descartes，R.)於1637年還用“=”表示現代“±”號的意義，而用“∝”作等號.直到17世紀末，以“=”作等號才逐漸通用。