等差數列倍增規律

基本規律

似乎無人研究過等差數列還有倍增規律，在等差數列性質中也缺少這個簡單性質。

3、13、23、33、43、53、63、73、83
上面這個等差數列是一個標準的等差數列，自3開始到43共包含5個數列項3、13、23、33、43；36個非數列項4、5、6、7、8、9、10、11、12、14、15......等。延長一倍後到第9項83，自43到83共包含5個數列項和36個非數列項。數列項個數和非數列項個數與前半部分是一樣的。就是說等差數列延長一倍則等差數列中的數列項個數及非數列項個數亦增加一倍，這就是等差數列倍增規律。

等差數列倍增規律包含兩個規律：

第一規律：

自3開始到43共包含5個數列項36個非數列項。延長一倍後到第9項83，自43到83共包含5個數列項和36個非數列項。數列項個數和非數列項個數與前半部分是一樣的。這是等差數列倍增規律的第一個重要結論。

第二規律:

自3 和自43開始的各數列項位置是重複的，非數列項位置也是重複的，與前半部分是一模一樣的。這是等差數列倍增規律的第二個結論。

將很多等差數列疊加在一起，也同樣具有這一性質。

有若干整數等差數列，在這些等差數列重疊部分截取較長一段長度N，在這些等差數列中有不同項M1個。當這些等差數列全部向同方向增加長度N後，在N-2N內有不同項M2個。根據容斥原理，M1=M2。只是因為N在等差數列中與項的位置不同，會有一些小的誤差，故這裡應該是M1≈M2。也就是說，多個等差數列疊加在一起後，延長一倍，則其中不同項的個數也會大致增加一倍。增加的倍數會在1附近稍有變化。類似於量子力學的機率說法。

比如：

2的倍數數列	2		4	6	8		10	12	14		16	18
3的倍數數列		3		6		9		12		15		18
疊加	2	3	4	6	8	9	10	12	14	15	16	18
倍增關係	2到8疊加後共5個項2、3、4、6、8、及2個非數列項5、7							12到18疊加後也有5個項12、14、15、16、18及2個非數列項13、17

等差數列倍增規律的套用套用

所有的合數都可以寫成公式XY格式，這裡的X>1.y>1，同時XY也構成了所有合數。XY的結果可以組成了很多行的等差數列，這些等差數列上的項構成了全體合數，而不在項上的整數數字就是素數。或者說非數列項就是素數。因此，等差數列倍增規律第一規律將在素數個數問題上可以發揮重要作用，第二規律將在素數分布問題上發揮重要作用。

孿生素數猜想、三胞胎素數猜想、四胞胎素數猜想、六素數猜想等許多涉及素數個數的數論猜想均可以通過等差數列倍增規律來證明。如通過等差數列形成的孿生素數篩法可以篩選孿生素數，再利用等差數列倍增規律就可以證明孿生素數猜想，而且是孿生素數猜想初等證明。

參看下面兩個表格

自然數（表中數字去掉個位9後，實際上是逐行翻倍）	素數的個位為1		素數的個位為3		如11-13類型孿生素數		四胞胎素數
自然數（表中數字去掉個位9後，實際上是逐行翻倍）	素數個數	倍增比值	素數個數	倍增比值	孿生素數個數	倍增比值	四胞胎素數個數	倍增比值
29	1	1.0000	3	1.5000	1	1.0000	1	1.0000
49	3	3.0000	4	1.3333	2	2.0000	1	1.0000
89	5	1.6667	7	1.7500	3	1.5000	1	1.0000
169	8	1.6000	10	1.4286	4	1.3333	2	2.0000
329	16	2.0000	18	1.8000	7	1.7500	3	1.5000
649	28	1.7500	30	1.6667	11	1.5714	3	1.0000
1289	50	1.7857	54	1.8000	17	1.5455	4	1.3333
2569	92	1.8400	97	1.7963	27	1.5882	7	1.7500
5129	168	1.8261	175	1.8041	46	1.7037	9	1.2857
10249	313	1.8631	317	1.8114	68	1.4783	11	1.2222
20489	576	1.8403	583	1.8391	119	1.7500	18	1.6364
40969	1059	1.8385	1086	1.8628	205	1.7227	23	1.2778
81929	1986	1.8754	2002	1.8435	346	1.6878	33	1.4348
163849	3748	1.8872	3755	1.8756	604	1.7457	45	1.3636
327689	7035	1.8770	7071	1.8831	1082	1.7914	72	1.6000
655369	13282	1.8880	13338	1.8863	1938	1.7911	124	1.7222
1310729	25172	1.8952	25209	1.8900	3442	1.7761	214	1.7258
2621449	47821	1.8998	47851	1.8982	6220	1.8071	363	1.6963
5242889	90957	1.9020	91110	1.9040	11265	1.8111	560	1.5427
10485769	173633	1.9090	173756	1.9071	20652	1.8333	930	1.6607
20971529	331969	1.9119	332201	1.9119	37550	1.8182	1529	1.6441
41943049	635972	1.9158	636108	1.9148	68405	1.8217	2487	1.6266
83886089	1220577	1.9192	1220765	1.9191	125868	1.8400	4189	1.6844
167772169	2346142	1.9222	2346530	1.9222	232302	1.8456	7054	1.6839
335544329	4516800	1.9252	4517428	1.9252	429878	1.8505	12006	1.7020
671088649	8707773	1.9279	8707822	1.9276	797856	1.8560	20557	1.7122
1342177289	16809160	1.9304	16810346	1.9305	1486882	1.8636	35848	1.7438
2684354569	32486697	1.9327	32487852	1.9326	2776461	1.8673	62387	1.7403
5368709129	62858965	1.9349	62859510	1.9349	5195786	1.8714	109113	1.7490
10737418249	121756074	1.9370	121757490	1.9370	9747328	1.8760	191356	1.7537

範圍	首位四胞胎素數	末位四胞胎素數	個數	相鄰區間個數比值
0-1億	1	9998224	4767
1-2億	10000546	19993228	3329	0.698342773
2-3億	20003653	29995708	2876	0.8639231
3-4億	30002845	39999772	2740	0.9527121
4-5億	40005712	49999822	2618	0.955474453
5-6億	50022733	59993557	2508	0.957983193
6-7億	60003574	69998911	2436	0.971291866
7-8億	70001464	79993768	2385	0.979064039
8-9億	80000863	89999437	2422	1.015513627
9-10億	90002566	99998617	2306	0.952105698
10-11億	100002526	109996015	2208	0.957502168
11-12億	110025814	119997862	2217	1.004076087
12-13億	120001843	129981895	2137	0.963915201
13-14億	130000435	139999228	2111	0.987833411
14-15億	140003599	149985547	2102	0.995736618
15-16億	150004888	159994150	2036	0.968601332
16-17億	160001857	169993414	2025	0.99459725
17-18億	170003842	179996986	1999	0.987160494
18-19億	180001120	189999601	2043	1.022011006
19-20億	190000882	199982926	1996	0.976994616
20-21億	200012779	209996956	1890	0.946893788
21-22億	210018544	219996997	1861	0.984656085
22-23億	220000807	229993207	1969	1.058033315
23-24億	230003026	239996125	1944	0.9873032
24-25億	240000976	249990109	1900	0.977366255
25-26億	250006270	259999498	1933	1.017368421
26-27億	260000389	269997127	1906	0.986032074
27-28億	270000757	279995929	1928	1.011542497
28-29億	280005055	289997263	1875	0.972510373
29-30億	290002693	299996443	1873	0.998933333
30-31億	300004174	309999100	1786	0.953550454
31-32億	310001434	319986451	1757	0.983762598
32-33億	320005306	329991700	1765	1.004553216
33-34億	330005656	339997003	1741	0.986402266
34-35億	340001560	349997887	1773	1.018380241
35-36億	350004184	359996122	1722	0.971235195
36-37億	360002200	369992155	1766	1.025551684
37-38億	370001257	379998781	1769	1.001698754
38-39億	380005309	389998666	1729	0.977388355
39-40億	390008431	399988753	1763	1.019664546
40-41億	400002088	409994266	1728	0.980147476
41-42億	410003422	419998024	1808	1.046296296
42-43億	420001384	429994624	1680	0.92920354
43-44億	430001512	439988377	1636	0.973809524
44-45億	440008054	449989732	1696	1.036674817
45-46億	450000106	459999097	1712	1.009433962
46-47億	460012162	469998847	1673	0.977219626
47-48億	470007100	479998375	1710	1.022115959
48-49億	480019594	489989755	1724	1.008187135
49-50億	490002682	499997251	1671	0.969257541
50-51億	500002021	509995624	1693	1.013165769
51-52億	510005053	519999103	1665	0.983461311
52-53億	520000780	529993600	1720	1.033033033
53-54億	530012722	539986501	1614	0.938372093
54-55億	540000427	549997393	1675	1.0377943
55-56億	550001737	559999396	1684	1.005373134
56-57億	560004007	569994601	1648	0.978622328
57-58億	570009550	579994882	1649	1.000606796
58-59億	580002181	589990117	1583	0.959975743
59-60億	590000419	599992093	1593	1.006317119
60-61億	600000955	609996472	1559	0.978656623
61-62億	610018312	619997815	1600	1.02629891
62-63億	620003410	629987401	1600	1
63-64億	630012325	639997144	1640	1.025
64-65億	640007623	649996390	1548	0.943902439
65-66億	650008915	659987515	1566	1.011627907
66-67億	660000622	669999811	1576	1.006385696
67-68億	670017664	679984663	1571	0.996827411
68-69億	680000884	689997703	1499	0.954169319
69-70億	690003721	699993577	1573	1.049366244
70-71億	700001044	709987405	1588	1.009535919
71-72億	710011744	719971012	1578	0.993702771
72-73億	720009424	729998398	1516	0.960709759
73-74億	730000510	739998022	1546	1.019788918
74-75億	740001085	749998231	1532	0.990944373
75-76億	750002506	759993799	1465	0.956266319
76-77億	760000813	769997362	1551	1.058703072
77-78億	770006611	779992837	1517	0.978078659
78-79億	780000226	789997351	1500	0.988793672
79-80億	790001194	799991029	1508	1.005333333
80-81億	800007202	809997385	1494	0.99071618
81-82億	810001603	819999400	1501	1.004685408
82-83億	820002793	829997887	1532	1.020652898
83-84億	830006665	839998015	1577	1.029373368
84-85億	840004030	849993427	1540	0.97653773
85-86億	850002730	859997164	1618	1.050649351
86-87億	860027365	869994751	1522	0.940667491
87-88億	870000202	879998101	1452	0.954007884
88-89億	880006408	889997011	1493	1.028236915
89-90億	890009293	899994385	1528	1.023442733
90-91億	900001504	909988864	1505	0.984947644
91-92億	910002241	919994941	1472	0.97807309
92-93億	920012626	929999080	1496	1.016304348
93-94億	930002116	939994501	1485	0.992647059
94-95億	940005664	949977313	1533	1.032323232
95-96億	950016742	959991931	1439	0.938682322
96-97億	960012616	969999661	1473	1.023627519
97-98億	970001929	979985077	1438	0.976238968
98-99億	980011609	989993749	1466	1.019471488
99-100億	990003451	999985729	1458	0.994542974
100-101億	1000005742	1009994884	1512	1.037037037
101-102億	1010020147	1019999884	1465	0.968915344
102-103億	1020027520	1029991021	1469	1.002730375
103-104億	1030006843	1039997512	1416	0.963921035
104-105億	1040024119	1049997091	1464	1.033898305
105-106億	1050008335	1059977110	1484	1.013661202
106-107億	1060013125	1069992094	1469	0.989892183
107-108億	1070001178	1079998750	1425	0.970047651
108-109億	1080001933	1089982792	1391	0.976140351
109-110億	1090010332	1099991728	1426	1.025161754
110-111億	1100006773	1109997673	1476	1.035063114
111-112億	1110008737	1119987622	1466	0.993224932
112-113億	1120003813	1129992445	1453	0.991132333
113-114億	1130002879	1139999761	1470	1.011699931
114-115億	1140001843	1149996517	1467	0.997959184
115-116億	1150003366	1159991260	1447	0.986366735
116-117億	1160009569	1169990041	1470	1.015894955
117-118億	1170002053	1179995458	1426	0.970068027
118-119億	1180003081	1189997245	1419	0.995091164
119-120億	1190010013	1199998945	1482	1.044397463
120-121億	1200007336	1209993730	1474	0.994601889
121-122億	1210002403	1219997479	1416	0.960651289
122-123億	1220001868	1229991652	1387	0.979519774
123-124億	1230000628	1239999013	1352	0.974765681
124-125億	1240003621	1249994581	1472	1.088757396
125-126億	1250000314	1259995126	1405	0.954483696
126-127億	1260002320	1269997123	1437	1.022775801
127-128億	1270012906	1279991182	1410	0.981210856
128-129億	1280008903	1289997238	1365	0.968085106
129-130億	1290002785	1299992251	1397	1.023443223
130-131億	1300003570	1309993000	1440	1.030780243
131-132億	1310008990	1319994229	1414	0.981944444
132-133億	1320027409	1329999844	1458	1.031117397
133-134億	1330003771	1339997032	1476	1.012345679
134-135億	1340008279	1349988904	1423	0.964092141
135-136億	1350016648	1359982387	1455	1.022487702

等差數列倍增規律

基本介紹

基本規律

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