由實際問題得到的方程組的係數矩陣或者常數向量的元素，本身會存在一定的誤差；這些初始數據的誤差在計算過程中就會向前傳播，從而影響到方程組的解。病態方程組是指因係數的很小改變卻導致解改變很大的方程組，稱相應的係數矩陣A為病態矩陣。病態方程組對任何算法都將產生數值不穩定性。對病態方程組有四種處理原則：採用高精度的算術運算；採用預處理方法；採用特殊的數值解法或尋找出現病態的原因，改變原問題的提法。
基本介紹
- 中文名：病態方程組
- 外文名：Ill conditioned equations
- 相關方程：良態方程組
- 對應矩陣：病態矩陣
- 特點：對任何算法都將產生數值不穩定性
- 套用學科：數值計算
預備知識,擾動,條件數,定義,表述一,表述二,典例,判斷和發現,一般方法,特殊情況,四種處理原則,
預備知識
擾動
條件數
定義
病態方程組是指因係數的很小改變卻導致解改變很大的方程組。病態的另外一個解釋是很大範圍的解都能近似滿足方程組。因為捨入誤差會使係數有一些小的改變，那么對於病態方程組，這些人為的改變會導致解有很大的誤差。
表述一
設方程組為Ax=b，係數矩陣A和常數向量b的擾動分別記為：
和
，如果
和
很小，而
很大，則稱方程組Ax=b為病態（ill-conditioned）方程組，稱係數矩陣A為關於求解方程組或求逆的病態矩陣；反之，如果和微小時，也很微小，則稱方程組Ax=b為良態（well-conditioned）方程組，稱係數矩陣A為關於求解方程組或求逆的良態矩陣。病態方程組對任何算法都將產生數值不穩定性（如用LU分解法求解線性方程組時，更換主元有可能使解的精確度大大下降）。
表述二
求解線性方程組Ax=b時，設A是n階非奇異矩陣，當條件數Cond（A）比較大時，A和b的小擾動會引起解的較大誤差，所以條件數Cond（A）刻畫了方程組Ax=b的性態。如果條件數比較大，就說方程組是“病態”的；如果條件數比較小，就說方程組是“良態”的；當然，病態和良態是相對的。
典例
設有方程組：
易得其精確解為
。
若常數項有一個擾動，得到方程組：
則其解為
。
可見A或b中元素的0.0001的微小變化會導致方程組解的巨大差異，這樣的方程組就是“病態”方程組，可以利用範數來描述向量和矩陣的擾動誤差。
判斷和發現
對於病態的線性方程組，其求解自然要難於良態的方程組，或要採取特殊的方法才能求出有用的解。在求解以前，怎樣判斷和發現Ax=b是病態的呢?
一般方法
根據病態方程組的定義，可以通過計算條件數來判斷。由於定義中涉及A ，故計算量太大而通常不被採用．人們經常利用的是估計條件數的方法。
特殊情況
在特殊情況下，可以依據下面出現的情況來判斷：
（1）當det(A)相對來說很小或者A的某些行（或列）近似線性相關時，Ax=b可能是病態的；
（2）如果用選主元消去法求解Ax=b，在A的約化過程中出現小的主元，Ax=b可能是病態的；
（3）當解Ax=b時出現一個很大的解，Ax=b可能是病態的；
（4）當係數矩陣A的元素數量級相差很大，並且無一定規則時，Ax=b可能是病態的。
四種處理原則
若發現Ax=b可能是病態的．通常有四種處理原則：
採用高精度的算術運算
如利用雙倍字長進行計算，以便改善和減輕矩陣病態的影響，但計算時間將大大增加。
採用預處理方法
對病態線性方程組Ax=b進行預處理，如取P，Q為對角陣，稱為平衡方法，即當係數矩陣A的元素數量級相差很大時，可採用行均衡或列均衡方法，這時矩陣A的條件數可能得到改善。所謂行均衡，是在解Ax=b之前，對A的每一行都乘以適當的數，使A所有的行按照某種範數大體上有相同的長度。
設
非奇異，計算
，令
於是，求解Ax=b化為求解
或
，這時有
。
採用特殊的數值解法
採用某些特殊的數值方法求解。
找病因改問題
尋找出現病態的原因，改變原問題的提法。
