函式圖像

函式圖像

在數學中,函式 f圖形(或圖象)指的是所有有序對x, f(x))組成的集合[1]。具體而言,如果x實數,則函式圖形在平面直角坐標系上呈現為一條曲線。如果函式自變數x為兩個實數組成的有序對(x1, x2),則圖形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))組成的集合,呈現為曲面(參見三維計算機圖形)。

基本介紹

  • 中文名:函式圖象
  • 外文名:Functions images
  • 圖象性質:滿足等式:y=kx+b
  • 套用:水量g是抽水時間t的一次函式
幾何與方程論,圖象性質,例題,套用,分類,反比例函式,雙鉤函式,二次函式,

幾何與方程論

Functions images(函式的圖象)
點集{(x,y)丨y=x}叫做函式y=x的圖象
一次函式圖像一次函式圖像
一次函式
自變數x和因變數y有如下關係:
y=kx+b(k,b為常數,k≠0)
則稱y是x的一次函式
特別地,當b=0時,y是x的正比例函式
若兩個變數x,y間的關係式可以表示為y=kx+b(k,b為常數,k≠0)的形式,則稱y是x的一次函式(x為自變數,y為因變數)。特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函式。

圖象性質

1. 作法與圖形:通過如下3個步驟(1)算出該函式圖象與Y軸和X軸的交點的坐標(2)描點;(3)連線,可以作出一次函式的圖象——一條直線。
2. 性質:在一次函式上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。
3. k,b與函式圖象所在象限。
當k>0時,直線必通過一、三象限,從左往右,y隨x的增大而增大;
當k<0時,直線必通過二、四象限,從左往右,y隨x的增大而減小;
當b>0時,直線必通過一、二象限;當b<0時,直線必通過三、四象限。
特別地,當b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函式的圖象。
這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四 象限。
4. (1) 函式關係中自變數可取值的集合叫做函式的定義域。求用解析式表示的函式的定義域,就是求使函式各個組成部分有意義的集合的交集,對實際問題中函式關係定義域,還需要考慮實際問題的條件。 (2)值域與定義域內的所有x值對應的函式值形成的集合,叫做函式的值域。(3)單調性定義:對於給定區間上的函式f(x)。
反比例函式圖像反比例函式圖像

例題

已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函式的表達式。 (1)設一次函式的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。如果b=0,則函式解析式為y=kx,所以說正比例函式是特殊的一次函式。 (2)因為在一次函式上的任意一點P(x,y),都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程: y1=kx1+b① 和y2=kx2+b②。 (3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最後得到一次函式的表達式。 (5)在y=kx+b中,使x,y分別等於0,可求出兩個坐標系必定經過的兩點(0,b)和(-b/k,0)。

套用

1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函式。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。

分類

反比例函式

形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函式,叫做反比例函式
自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。
如圖,上面給出了x分別為正和負(2和-2), k=4 時的函式圖象。

雙鉤函式

函式f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做雙鉤函式
雙鉤函式圖像雙鉤函式圖像
該函式是奇函式,圖象關於原點對稱。位於第一、三象限
當x>0時,由基本不等式可得:y ≥2√ab
若且唯若ax=b/x,即x=√(b/a)時取等號。
故其頂點坐標為(√(b/a),2√ab),圖象在(0,√(b/a))上是單調遞減的,在(√(b/a),+∝)上是單調遞增
同理:當x<0時,由基本不等式可得:y≤-2√ab
若且唯若ax=b/x,即x=-√(b/a)時取等號。
故其頂點坐標為(-√(b/a),-2√ab),
圖象在(-∝,-√(b/a))上是單調遞增,
在(-√(b/a),0)上是單調遞減的。
當a<0,b<0 時可轉化為a>0,b>0的情況
通常,作圖時,x看做0。代入得y,也就是縱軸坐標(0,y)
有時,通過平移,把形如y=(ax+b)/(cx+d)也看成反比例函式。
特殊位置關係
平面直角坐標系中兩直線平行時,其函式解析式中K值(即一次項係數)相等
當平面直角坐標系中兩直線垂直時,其函式解析式中K值互為負倒數(即兩個K值的乘積為-1)

二次函式

一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函式。
二次函式表達式的右邊通常為二次三項式。
二次函式圖像二次函式圖像
表達式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x 2) [僅限於與x軸有交點A(x1 ,0)和 B(x2,0)的拋物線]
註:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x1,x2=(-b±√b^2-4ac)/2a
圖象
在平面直角坐標系中作出二次函式y=x^2的圖象,
可以看出,二次函式的圖象是一條拋物線。
性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b方-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b方-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b方-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)
位置關係
二次函式y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:
解析式 頂點坐標 對 稱 軸
y=ax^2 (0,0) x=0
y=a(x-h)^2 (h,0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);
(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x2-x1|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱坐標,是最值的取值.

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