牛頓定理

特指平面幾何中的牛頓定理（Newton's Theorem）

牛頓線：和完全四邊形四邊相切的有心圓錐曲線的心的軌跡是一條直線,是完全四邊形三條對角線中點所共的線。（涵蓋了圓外切四邊形的對角線中點連線過圓心的定理)

基本介紹

• 中文名：牛頓定理
• 外文名：Newton's Theorem
• 提出者：艾薩克·牛頓
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：平面幾何

定理1

完全四邊形三條對角線中點共線。

證明方法1：

四邊形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中點M,AC中點L,EF中點N

取BE中點P,BC中點R,PN∩CE=QR,L,Q共線

牛頓定理1

QL/LR=EA/AB

M,R,P共線

RM/MP=CD/DE

N,P,Q共線

PN/NQ=BF/FC

三式相乘得:

QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC

由梅涅勞斯定理

QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1

由梅涅勞斯定理的逆定理知:L,M,N三點共線

證畢

故牛頓定理1成立

證明方法2：

如圖，左圖為當完全四邊形中AE⊥BF，AF⊥DE時，由RT三角形斜邊中線等於斜邊一半推得紅、綠三角形全等（SSS），則完全四邊形對角線中點M、P所在直線平分BD，即M、N、P共線，將其仿射為一般形式即證牛頓定理1

牛頓定理1仿射證明法

定理2

圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

證明：

設四邊形ABCD是⊙I的外切四邊形，E和F分別是它的對角線AC和BD的中點，連線EI只需證它過點F，即只需證△BEI與△DEI面積相等。顯然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。

牛頓定理2圖

注意兩個式子，由ABCD外切於⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四邊形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四邊形ABCD

即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移項得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中點，S△CEI=S△AEI，故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△ADE+S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中點，由共邊比例定理EI過點F即EF過點I，故結論成立。

證畢。

定理3

圓的外切四邊形的對角線的交點和以切點為頂點的四邊形對角線交點重合。

證明：

設四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內切圓分別切於點E,F,G,H. 首先證明,直線AC,EG,FH交於一點.設EG,FH分別交AC於點I,I'.顯然∠AHI‘=∠BFI ’

因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'

故 AI'/CI'=AH/CF.

同樣可證:AI/CI=AE/CG

又AE=AH,CF=CG.

故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.

從而I,I'重合.即直線AC,EG,FH交於一點.

同理可證:直線BD,EG,FH交於一點.

因此直線AC,BD,EG,FH交於一點.

證畢。