牛頓恆等式

對於n次多項式F(X)有著名的牛頓恆等式。它是n次方程F(X)=0的n個根的同次冪的和與F(X)的函式之間關係的明確表述。

基本介紹

• 中文名：牛頓恆等式
• 外文名：newton identities
• 學科：數學、物理學
• 發明者：牛頓

背景

艾薩克·牛頓（Isaac Newton）是英國偉大的數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家，其研究領域包括了物理學、數學、天文學、神學、自然哲學和鍊金術。

牛頓的主要貢獻有發明了微積分，發現了萬有引力定律和經典力學，設計並實際製造了第一架反射式望遠鏡等等，被譽為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學家。為了紀念牛頓在經典力學方面的傑出成就，“牛頓”後來成為衡量力的大小的物理單位。數學方面牛頓也貢獻頗多，以他和萊布尼茲共同發明的微積分最為重要。除此以外，他還發現了了二項式展開定理、牛頓恆等式等重要定理。

定義

牛頓恆等式敘述如下：

設F(X)=0的n個根.對於記則有

恆等式的證明

對於一元二次方程，即：

F%5Cleft(x%5Cright)%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%2Ca%5Cne0%5Cleft(1%5Cright).

牛頓恆等式，設為方程兩根，對於，則有

下面是（2）（3）式的證明：

（2）的證明：

由於為方程二根，易得

當k>2時，分別以乘上這兩個式子，得

ax%5Ek_1%2Bbx%5E%7Bk-1%7D_1%2Bcx%5E%7Bk-2%7D_1%3D0%2Cax%5Ek_2%2Bbx%5E%7Bk-1%7D_2%2Bcx%5E%7Bk-2%7D_2%3D0.

相加兩個上面兩式，即可得（2）。

（3）的證明：

由韋達定理：所以即（3）的一式成立，

又因為所以即（3）的二式成立。對於n>2其他情況，可以類比（2）（3）式加以證明

恆等式套用

一、證明韋達定理

由（3）式證明即可以看出：通過韋達定理既然可以推出（3）式，那么牛頓恆等式（3）式與韋達定理是等價的。通過逆推就可以證明韋達定理的正確性。

二、其他有用推論

1，通過方程1係數a，b，c，即可逐個確定

2， 如則

3，通過牛頓恆等式，也可以由a，b，c的奇偶性推知的奇偶性。