正規數（Normal Number）是數字顯示出隨機分布，且每個數字出現機會均等的實數。“數字”指的是小數點前有限個數字（整數部份），以及小數點後無窮數字序列（分數部份）。
基本介紹
- 中文名：正規數
- 外文名：Normal Number
- 學科：數論
- “數字”：整數部分和分數部分
- 提出者：埃米爾·博雷爾
- 提出時間：1909年
定義,正規數的套用,數學難題,
定義
設b是大於1的整數，x是實數。考慮以b為底的位值記數法中x的數字序列。若s是以b為底的有限數字序列，我們以N(s,n)表示字串s在x的開首n個數字出現次數。數x稱為以b為底正規若對任意長度k的字串s：
（即是說在x的數字中找到字串s的機率，就像在完全隨機生成的數字序列中的一樣。）x稱為正規數（有時稱為絕對正規數）如果以任何b為底x都是正規。
這個概念是由埃米爾·博雷爾在1909年創造。用波萊爾—坎特利引理，他證明了正規數定理：幾乎所有實數是正規的，意思是非正規數集合的勒貝格測度為0。這定理證明存在正規數，但首先給出一個例子的是瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基(WacławSierpiński)。
正規數的套用
非正規數集合是不可數的，這個結果容易得出，想法是從每個實數中完全除去一個數字。
錢珀瑙恩數(Champernowne)：
0.1234567891011121314151617...
是從連結所有自然數的數字而得出的數，它以10為底正規，但在某些底不是正規。
科普蘭—艾狄胥常數(Copeland-Erdős)：
0.235711131719232931374143...
從連結所有質數的數字而得出的數，也是以10為底正規。
0.1010010001000010000010000001...
