正八面體

正八面體，一種正多面體，也是一種正軸體，面為8個正三角形，八面體的對角面為正方形，共三個，並且兩兩垂直。交線同樣兩兩垂直。二面角為109°28′16.3″。

正八面體每四條棱可以成為一個正方形，共有三個獨立的正方形。

基本介紹

• 中文名：正八面體
• 外文名：regular octahedron
• 頂點數：6
• 邊數：12
• 面數：8
• 套用學科：幾何學

性質

頂點數目：6

邊數目：12

面數目：8

當邊長為a時：

表面積：

體積：

外接球半徑： (外接球即過正八面體各頂點的球)

內切球半徑： （內切球即與正八面體各面相切的球）

中交球半徑： （中交球即過正八面體各邊中點的球）

基本信息

正八面體是五種正多面體的第三種，是三維的正軸體，有6個頂點、12條邊和8個面。它由八個等邊三角形構成，也可以看做上、下兩個正方椎體黏合而成，每個正方椎體由四個三角形與一個正方形組成。正八面體的對偶多面體是立方體。

正八面體

正八面體的一種展開圖

正八面體內嵌在立方體中時，6個頂點分別位於立方體的面心：

正八面體體積 : 立方體體積

=1 : 6

坐標系

以棱長為 的正八面體的幾何中心作為原點，將正八面體的對角線作為x,y,z軸建立三維直角坐標系（正八面體的3條對角線兩兩正交，這也是正八面體被叫做“正軸形”的原因），則我們能將正八面體的頂點坐標記為
( ±1, 0, 0 )
( 0, ±1, 0 )
( 0, 0, ±1 )
正八面體表面方程為： |x|+|y|+|z|=1
更一般的，如果正八面體的對角線平行於坐標軸，中心為(x₀,y₀,z₀)，外接圓半徑為r（棱長為 ），則正八面體表面方程為： |x-x₀|+|y-y₀|+|z-z₀|=r
如果中心在原點的正八面體被拉長，成為菱形體，則更一般的八面體方程為

其內接於橢球體

表面積S和體積V為：

它的慣性張量I是：

當 時，菱形體為上述正八面體。

正交投影

正八面體可以以多種不同的方向被正交投影到二維平面，以下表格展示了幾種特殊的投影：

性質

對稱性

正八面體作為3維的正軸體正多面體，自身擁有較高的對稱性，它的所有面都是不可區分的。可是我們也可以想像將正八面體的面“塗上”不同的“顏色”，使它其的不同面擁有不同的“幾何意義”，使正八面體擁有不同的對稱性。正八面體的對稱群是O_h（正八面體群），是三維的超正八面體群。在此對稱性下，正八面體的所有面都帶有相同對“顏色”，對稱性最高，群階48。該群的子群體現了正八面體更低的對稱性：T_d（群階24），截半正四面體的對稱群；D_3d（群階12），三角反稜柱的對稱群；D_4h（群階16），四角雙稜錐（正四稜柱的對偶）的對稱群；D_2h（群階8），三維長菱體（三維長方體的對偶）的對稱群。

對偶性

正八面體的對偶多面體是立方體。
當正八面體在立方體之內：
正八面體體積: 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2: 邊
=(1/3)(n/2)[(n)/2]2: n
=1: 6

歷史

柏拉圖認為正八面體介於正四面體（火）和正二十面體（水）之間，因此認為它代表的元素是空氣。