正軸體

在幾何學中，正軸體(Cross-polytope)是一類在任意維均存在的凸正多胞體。特別地，定義0維正軸體為一個點，一維的正軸體為一條線段。

基本介紹

• 中文名：正軸體,正軸形
• 外文名：Cross-polytope,Orthoplex,正軸體

頂點

n維正軸體的頂點有2n個，均為坐標形如(±1,0,0,…)的點。如二維正軸體(2-orthoplex)(即正方形)的4個頂點的坐標分別為(±1,0)、(0,±1)；三維正軸體(3-orthoplex)((即正八面體)的6個頂點的坐標分別為(±1,0,0)、(0,±1,0)、(0,0,±1)；四維正軸體(4-orthoplex)((即正十六胞體)的8個頂點的坐標分別為(±1,0,0,0)、(0,±1,0,0)、(0,0,±1,0)、(0,0,0,±1)。

表面

正軸體的表面由若干個單形(Simplex)組成，單形的個數為。如二維正軸體(2-orthoplex)(即正方形)的表面由4條線段組成；三維正軸體(3-orthoplex)((即正八面體)的表面由8個等邊三角形面組成；四維正軸體(4-orthoplex)((即正十六胞體)的表面由16個正五胞體組成。

計算

對於一個邊長為a的n維正軸體( )，其超體積為 ，其超表面積為 ，其對角線長為 ，其頂點個數為2n，其m( )維元素個數為 。

關係

連線一個n維正軸體表面各胞的中心，可得一個n維超立方體(n-cube)。對這個n維超立方體進行相同的操作也可以得到這個n為正軸體。

其他性質

n維正軸體的其他有關性質見下表:

維數	名稱	圖形	施萊夫利符號	點數	線數	面數	胞數	四維胞數	五維胞數
1	線段	1維正軸體		2	1
2	正方形	二維正軸體		4	4	1
3	正八面體	3維正軸體		6	12	8	1
4	正十六胞體	4維正軸體		8	24	32	16	1
5	五維正軸體	5維正軸體		10	40	80	80	32	1
6	六維正軸體	6維正軸形		12	60	160	240	192	64
n	n維正軸體			2n