正八面體

正八面體

正八面體,一種正多面體,也是一種正軸體,面為8個正三角形,八面體的對角面為正方形,共三個,並且兩兩垂直。交線同樣兩兩垂直。二面角為109°28′16.3″。

正八面體每四條棱可以成為一個正方形,共有三個獨立的正方形。

基本介紹

  • 中文名:正八面體
  • 外文名:regular octahedron
  • 頂點數:6
  • 邊數:12
  • 面數:8
  • 套用學科:幾何學
性質,基本信息,坐標系,正交投影,性質,對稱性,對偶性,歷史,

性質

頂點數目:6
邊數目:12
面數目:8
當邊長為a時:
表面積:
體積:
外接球半徑:
(外接球即過正八面體各頂點的球)
內切球半徑:
內切球即與正八面體各面相切的球)
中交球半徑:
(中交球即過正八面體各邊中點的球)

基本信息

正八面體是五種正多面體的第三種,是三維的正軸體,有6個頂點、12條邊和8個面。它由八個等邊三角形構成,也可以看做上、下兩個正方椎體黏合而成,每個正方椎體由四個三角形與一個正方形組成。正八面體的對偶多面體是立方體
正八面體正八面體
正八面體的一種展開圖正八面體的一種展開圖
正八面體內嵌在立方體中時,6個頂點分別位於立方體的面心:
正八面體體積 : 立方體體積
=1 : 6

坐標系

以棱長為
的正八面體的幾何中心作為原點,將正八面體的對角線作為x,y,z軸建立三維直角坐標系(正八面體的3條對角線兩兩正交,這也是正八面體被叫做“正軸形”的原因),則我們能將正八面體的頂點坐標記為
( ±1, 0, 0 )
( 0, ±1, 0 )
( 0, 0, ±1 )
正八面體表面方程為: |x|+|y|+|z|=1
更一般的,如果正八面體的對角線平行於坐標軸,中心為(x0,y0,z0),外接圓半徑為r(棱長為
),則正八面體表面方程為: |x-x0|+|y-y0|+|z-z0|=r
如果中心在原點的正八面體被拉長,成為菱形體,則更一般的八面體方程為
其內接於橢球體
表面積S和體積V為:

它的慣性張量I是:
時,菱形體為上述正八面體。

正交投影

正八面體可以以多種不同的方向被正交投影到二維平面,以下表格展示了幾種特殊的投影:
正八面體

性質

對稱性

正八面體作為3維的正軸體正多面體,自身擁有較高的對稱性,它的所有面都是不可區分的。可是我們也可以想像將正八面體的面“塗上”不同的“顏色”,使它其的不同面擁有不同的“幾何意義”,使正八面體擁有不同的對稱性。正八面體的對稱群是Oh(正八面體群),是三維的超正八面體群。在此對稱性下,正八面體的所有面都帶有相同對“顏色”,對稱性最高,群48。該群的子群體現了正八面體更低的對稱性:Td(群階24),截半正四面體的對稱群;D3d(群階12),三角反稜柱的對稱群;D4h(群階16),四角雙稜錐(正四稜柱的對偶)的對稱群;D2h(群階8),三維長菱體(三維長方體的對偶)的對稱群。

對偶性

正八面體的對偶多面體立方體
當正八面體在立方體之內:
正八面體體積: 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2: 邊
=(1/3)(n/2)[(n)/2]2: n
=1: 6

歷史

柏拉圖認為正八面體介於正四面體)和正二十面體)之間,因此認為它代表的元素是空氣。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們