正交表示

正交表示是正交變換的推廣。有限群在實數域上的任意的矩陣表示都等價於一個正交表示。

基本介紹

• 中文名：正交表示
• 外文名：orthogonal representation
• 適用範圍：數理科學

定義

設 T 為有限群 G 在實數域上的矩陣表示。如果對每個 為正交矩陣，則稱為正交表示。有限群在實數域上的任意的矩陣表示都等價於一個正交表示。

正交變換

在線性代數中，正交變換是線性變換的一種，它從實內積空間V映射到V自身，且保證變換前後內積不變。

因為向量的模長與夾角都是用內積定義的，所以正交變換前後一對向量各自的模長和它們的夾角都不變。特別地，標準正交基經正交變換後仍為標準正交基。

在有限維空間中，正交變換在標準正交基下的矩陣表示為正交矩陣，其所有行和所有列也都各自構成V的一組標準正交基。因為正交矩陣的行列式只可能為+1或−1，故正交變換的行列式為+1或−1。行列式為+1和−1的正交變換分別稱為第一類的（對應旋轉變換）和第二類的（對應瑕旋轉變換）。可見，歐幾里得空間中的正交變換隻包含旋轉、反射及它們的組合（即瑕旋轉）。

正交變換的逆變換也是正交變換，後者的矩陣表示是前者矩陣表示的逆。