規範正交系

設M是內積空間X的一個不含零子集，若M中向量兩兩正交，則稱M為X中的正交系，又若M中向量的範數都為1，則稱M為X中的規範正交系。

基本介紹

• 中文名：規範正交系
• 外文名：Normative orthogonal system
• 領域：數學
• 屬性：範數都為1的正交系
• 範疇：正交系
• 相關名詞：規範正交基

簡介

設M是內積空間X的一個不含零子集，若M中向量兩兩正交，則稱M為X中的正交系，又若M中向量的範數都為1，則稱M為X中的規範正交系。

元素的正交性在內積空間和Hilbert空間中扮演著十分重要的角色。在n維歐氏空間，選定n個相互正交的向量 ，則形成n維空間中的一組正交基，也就是說在空間中建立了一組坐標系，空間中的任何一個元素都可以由這組坐標的線性組合表示出來。

其中 。

Rⁿ為n維歐氏空間，則向量集

為Rⁿ中規範正交系，其中

基本性質

（1）對正交系M中任意有限個向量 ，有

事實上，由於M中向量兩兩正交，所以

（2）正交系M是X中線性無關子集。

事實上，設 ，而且 ，其中為n個數，則對任何 ，有

由於 ，因此 ，所以 線性無關，從而說明M是X中線性無關子集。

套用

在傅立葉係數

設M為內積空間X中的規範正交系，，稱數集

為向量x關於規範正交系M的傅立葉係數集。

而稱為x關於e傅立葉係數。

在Bessel不等式

設是內積空間中的有限或可數規範正交系，則對，有

在級數

設是Hilbert空間中的可數規範正交系，則

（1）級數收斂的充要條件為級數收斂。

（2）對，級數收斂。

舉例

在空間 中，定義內積為

則三角函式系 為 中規範正交系，所以內積空間中規範正交系是正交函式系概念的推廣。