極大理想

極大理想是一類特殊理想，設a是環R的左(右)理想，若a≠R且R中沒有真正包含a的左(右)理想，則稱a為R的一個極大左(右)理想。類似地，可定義極大理想，任意有單位元的環一定有極大理想，a是R的極大理想若且唯若R/a是單純環，若R是有1的交換環，則a是R的極大理想若且唯若R/a是域，極大理想在局部環的研究中尤為重要。

基本介紹

• 中文名：極大理想
• 外文名：maximal ideal
• 所屬學科：數學
• 相關概念：環、理想、素理想、素數等

定義

設N是環R的一個理想，且，如果除R和N外，R中沒有包含N的其他理想，則稱N為環R的一個極大理想。

例1 在模8剩餘類環中，理想不是的素理想(因為，但是)，也不是的極大理想(因為)。但是，易知理想既是的素理想也是的極大理想。

應該注意的是，素理想是在交換環內定義的，但極大理想並無這種限制。

定理

定理1

設N是整數環Z的一個理想，則

是極大理想由素數生成．

證明 設是素數，又K是Z的一個理想，且

令，則，只有或p，即只有

或

從而是Z的極大理想。

反之，設N是Z的極大理想，由於Z的理想都是主理想，故可設，且不妨設n是正整數，如果n是合數，令

則Z的理想，但卻有

這與N是Z的極大理想矛盾．故n必為素數。(證畢)。

根據這個定理，並由例1可知，除平凡理想外，整數環的素理想和極大理想是一致的，但是，對有些環來說並不是這樣。

定理2

設N是環R的一個理想，則

是極大理想今是單環．

證明 用表示R到R=R/N的自然同態。

設N是R的一個極大理想，而為的任一非零理想，則由相應定理知，在之下的逆像K是R的一個理想。由於，而的逆像為N，故，又因，故，即，但N是R的極大理想，故

即只有平凡理想，R/N是單環。

反之，設是單環，K是R的一個理想，且

則．但由於，故，又因是單環，故。

任取，則，從而有使

於是因此，即N是R的極大理想。(證畢)。

我們知道，域是單環，以下將指出，在一定條件下其逆也成立。

定理3

設環R是一個單環，則當R有單位元且可換時，R是一個域。

證明 在R中任取，則．但R是單環，只有平凡理想，故

於是單位元，但對有單位元的交換環來說，中元素都可表為

於是，其中，即R中每個非零元都有逆元，從而R是一個域。(證畢)。

由以上兩個定理立即可得下面推論。

推論1

設R是一個有單位元的交換環，，則

是極大理想是域．

證明 設R/N是域，而域是單環，於是由定理2知，N是R的一個極大理想。

反之，設N是R的一個極大理想，由定理2，R/N是單環，又因環R有單位元且可換，從而R/N也有單位元且可換，故由定理3，R/N是一個域。(證畢)。

根據這個推論，再結合定理1又可得下面推論。

推論2

有單位元的交換環的極大理想必為素理想。

這樣，在有單位元的交換環中，只要給出一個極大理想，便可立即得到一個與這個環有密切聯繫的域，於是，可以通過所得到的域進一步研究所給的環。

例2 由素數p生成的理想是整數環Z的極大理想，而Z有單位元且可換，故由推論1知，即是一個域。

這樣，我們從極大理想出發，又一次證明了是一個域。