定義
設A是環R的一個理想,若把A,R看作加群,這樣A是R的一個不變子群,且由A的陪集a+A=[a],b+ A=[b],..作成R的一個分類,這些類叫做模A的剩餘類。而所有這些類組成的集作成一個環,叫做模A的剩餘類環,記作R/A。
比如,(n)是Z的一個理想,由(n)的
陪集0+(n)=[0],1+(n)=[1],2+(n)=[2],...,n-1+(n)= [n-1]作成Z的一個分類,且集合{[0],[1],...,[n-1]}作成一個剩餘類環Z/(n),也就是Z
n。可見,一般的剩餘類環是模n的剩餘類環Z
n的推廣。
實例分析
我們將給出剩餘類環這個重要概念的另一個實例。令F是一個
實數域,並且考慮環F[x]中的理想n= (x
2+1),如果f(x)是F[x] 的任意元素,那么由除法變換我們有:f(x)=g(x)(x
2+1)+a+bx,此處a和b都是實數,因此,對模n的每一個剩餘類所包含的是零或者至多是一次的多項式,而且a+bx和c+dx在不同的剩餘類中,除非是a=c和b=d,因為除了在這種情況下,a+bx≡c+dx(n)是不可能的,這樣F[x}/n的不同元素的確就是剩餘類
上面的第一式是明顯的,而第二式由觀察式:(a+bx)(c+dx)=ac-bd+(ad+bc)x+bd(x
2+1),所以(a+bx)(c+dx)=(ac-bd)+(ad+bc)x(n),讀者必須注意這些公式與複數的加法和乘法的普通規則的相似性——事實上,環F[x]/(x
2+ 1) 就是複數域,除了使用的符號以外,實質上是相同的。
另外一個實例可能是有趣的,令
是一個整數環,而m是
多項式環中的理想(2,x
2+x+1),利用前面例子的論證,以x
2+x+1代替x
2+1,可以看出,對模m的任一個
剩餘類包含一個形如a+bx的元素,此處a和b都是整數,然而在這種情況下,m包含整數2,因而每一個整數對模m的同餘不是0就是1,因此剛好有4個剩餘類,就是
而且因為x(x+1)=1+(x
2+x+1)-2≡1(m),我們看到
所以
的每一個非零元素有一個逆元,因此
是一個域,這就是我們的第一個
有限域的實例,它不是
的形式,此處p是一個
素數,事實上,可以證明,雖然我們省略這個證明,那就是對於適當選擇的理想m,則任何有限域都可以象
剩餘類環一樣而得到。