基本介紹
- 中文名：正規概形
- 外文名：normal scheme
- 領域：數學
- 性質：整閉整環的推廣
- 特點：局部不可約
- 相關術語：正則概念、諾特概形
概念,整閉整環,概形,諾特環與諾特概形,諾特環,諾特概形,
概念
正規概形(normal scheme)是整閉整環的推廣。若一個概形X的所有局部環OX，x都是整閉整環，則稱X是正規概形。正規概形是局部不可約的，因此它的連通分支與不可約分支重合。正規諾特概形的奇點集的余維數大於1。對於一個既約概形X總存在一個典範的正規概形X~與X相伴，稱為X的正規化。當X是域上有限型概形時，X~→X一定是有限態射。
整閉整環
整閉整環亦稱正規環。刻畫戴德金整環的重要概念。若整環R在它的商域中整閉，稱R為整閉整環。例如，單一分解環、賦值環均是整閉整環。整閉性是局部性質。
戴德金整環是一維諾特整閉整環。整環R稱為戴德金整環。若滿足以下三個條件：
1.R是諾特環.
2.R在其商域中整閉.
3.dim R=1(其中dim表示克魯爾維數)，也即R不是域且非零素理想均為極大理想.
在戴德金整環R中每個準素理想均為素理想的冪，從而每個非零理想均可惟一(不計因子次序)地表示為有限個素理想的積。由庫默爾(Kummer，E.E.)開創，戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)所建立起來的戴德金整環的理論已十分完整，但有些重要的諾特環，例如，域F和整數環Z上多項式環F[x1，x2，…，xn]，Z[x1，x2，…，xn]均非戴德金整環。
概形
概形是代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地，概形(X，OX)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同構於仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態射就是局部環空間的態射。概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{Xi}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的.這些性質都是概形的局部性質，就是說，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質。若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。
在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形XS′=X×SS′，稱為S概形X的基擴張.與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念。S概形與態射f：X→S密切相關.不同性質的態射就給出了不同的S概形.例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×SX是閉態射，則稱f是分離態射；若存在S的一個仿射開覆蓋{Ui}={Spec Bi}，使得每個f(Ui)都有一個有限仿射開覆蓋{Vij}={Spec Aij}，並且Aij都是有限生成Bi代數，則稱f是有限型的;若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射。代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。
諾特環與諾特概形
諾特環
設R是一個有單位元的交換環，如果R的每個理想鏈I1⫅I2⫅I3⫅…都存在整數n，使得對任何i≥n，Ii=In，則稱R是一個諾特環。設R是一個交換環，R的理想Q稱為準素理想，如果Q≠R，對任意的a，b∈R，若ab∈Q，a∉Q，則必存在正整數n，使得b∈Q。設I是交換環R的理想，I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交，記作或radI。準素理想的根是一個素理想，這個素理想稱為與Q結合的素理想，或Q是屬於這個素理想的準素理想。交換環R中的理想I稱為有準素分解，如果I=Qi∩…∩Qn，其中Qi，i=1，…，n都是準素理想。如果每個Qi都不包含Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn，而且Qi的根互不相同，則稱這樣的準素分解是既約的。一個有單位元的交換環R是諾特環若且唯若R的每個理想是有限生成的，若且唯若R滿足理想的極大條件：對R的任一個理想的非空族{Iλ}，其中必存在極大元I，即若J∈ {Iλ}，I⫅J，則I=J。含麼交換環是諾特環若且唯若每個素理想是有限生成的。諾特環R的每個理想I，I≠R，有準素分解，而且若I=A1∩…∩An，I=B1∩…∩Bm是兩個既約準素分解，其中Ai是屬於Pi的準素理想，Bj是屬於Qj的準素理想，則n=m，而且適當重排順序後，Pi=Qi。環R的非空子集S稱為R的一個乘閉子集，如果對任何a，b∈S，ab∈S。設S是交換環R的一個乘閉子集，在集合R×S上定義一個關係～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S1∈S使得s1(rs′-r′s) =0，這個關係是一個等價關係，(r，s)所在等價類記作r/s，R×S的全體等價類做成的集合記作SR，在SR中定義則SR做成一個有單位元的交換環。SR稱為R對於S的分式環。一個有單位元的交換環稱為局部環，如果它只有一個極大理想。設R是有單位元的交換環，P是R的素理想，令S=R\P，則S是R的乘閉子集，分式環SR是一個局部環，稱為R在P處的局部化，記作Rp。設S是諾特環R的乘閉子集，則SR也是諾特環。設R是—個諾特環，R[x1，…，xn]是R上文字x1，…，xn的多項式全體做成的環，則R[x1，…，xn]也是諾特環，這個結論稱為希爾伯特基定理。設R是一個諾特環，R[[x]]是R上文字x的形式冪級數全體做成的環，則R[[x]]也是諾特環。
諾特概形
諾特概形是諾特環的推廣。若一個概形X有一個由諾特環的譜所構成的有限仿射開覆蓋，則稱X是諾特概形。諾特概形中的任意一個仿射開子概形都是諾特環的譜。域上或諾特環上的有限型概形都是諾特概形。
