逆元素(逆元)

逆元素

逆元一般指本詞條

逆元素是指一個可以取消另一給定元素運算的元素,在數學裡,逆元素廣義化了加法中的加法逆元乘法中的倒數

基本介紹

  • 中文名:逆元素
  • 外文名:Inverse element
  • 學科:數學
  • 作用:取消另一給定元素運算的元素
  • 集合二元運算
基本概念,例題解析,左右逆元素相等且唯一的條件,

基本概念

一個存在單位元素e的代數系統
,如果對S內的元素a存在
,使得
,則稱
為a對運算“
”的左逆元素,亦稱左逆元
一個存在單位元素e的代數系統
,如果對S內的元素a存在
,使得
,則稱
為a對運算“
”的右逆元素,亦稱右逆元
這裡的左逆元和右逆元是針對給定運算的某個元素而言的。我們說某個元素有沒有逆元素,而不能說某個代數系統有沒有逆元素。另外還需要說明:
(1)一個元素可以沒有左逆元和右逆元;
(2)一個元素可以只有左逆元;
(3)一個元素可以只有右逆元;
(4)一個元素可以既有左逆元,又有右逆元。

例題解析

例1對於集合
以及該集合上的二元運算x
y=lcm(x,y).即求x和y的最低公倍數,指出該運算的性質,並求出它的單位元零元和所有可逆元素的逆元。
根據定義可求得:
(1)
運算可交換、可結合。
(2)
,1為單位元。
(3)不存在零元。
(4)只有1有逆元,是它自己,其他正整數無逆元。
例2 定義實數集R上的二元運算
,R中的元素對
運算都存在逆元素嗎?
首先要考慮它是否存在單位元素。
是左單位元,則對任意r∈R,應有
,於是
,
。由於
是任意的,只有
。因此,0是運算
的左單位元素。同理可證明,0也是
運算的右單位元素,故該運算存在單位元素0。
那么R中的元素是否都有逆元素呢?我們設s是r的左逆元,則應有
於是
,即
同理,可求得
的右逆元也為
因此,只要
,R中任意元素
均有逆元,其逆元是
。例如,5的逆元是
,可以驗證

左右逆元素相等且唯一的條件

左右逆元素相等且唯一的條件是:
1)運算有單位元素;
2)元素a的左右逆元素都存在;
3)滿足結合律
通過以上分析,我們得出如下定理:
定理1
為S上可結合的二元運算,e為該運算的單位元,對於x∈S,如果存在左逆元
和右逆元
,則有
且y是x的唯一的逆元。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們