比較原理

比較原理(Comparison Principle)是通過比較微分方程右端直接判斷系統穩定性的一種原理。描述系統動力學特性的微分方程之右端是一個函式，由該函式值的大小可判定方程解的大小，從而可用於判別系統運動的有界性和穩定性。

基本介紹

• 中文名：比較原理
• 外文名：comparison principle
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 定義：比較微分方程右端判斷系統穩定性
• 涉及：系統動力學

微分方程的比較原理

考慮微分方程

式中；（為中包含原點的某區域）為連續函式。

由微分方程解的存在性定理知，任取，存在方程的解滿足，記為，並稱其為過點的解。但一般不是唯一的，這些解或者在整個區間上存在，或者於某個有限時間離開的定義域。如果對向量，用表示，則有以下右行最大解的定義。

定義：設是方程的在區間上有定義且過點的解，若對此方程的任一個在區間上有定義且過點的解均有

則稱是方程在區間上過點的右行最大解。

關於右行最大解的存在性，有以下定義。

定義：若定義在上的一個向量函式的每個分量均滿足：當任意兩向量和滿足且時，不等式均成立，則稱是對擬單調不減的。

比較原理在穩定性分析中的套用

研究系統

式中；；（為中包含原點的某區域）連續，滿足解的右邊整體存在唯一性條件且有。當研究漸近穩定性時，設是系統的孤立平衡點；當研究全局穩定性時，設是系統的唯一平衡點。

利用比較原理可將判定維系統零解穩定性的問題轉化為判定一維比較方程零解的穩定性問題。

定理：對於系統，若存在向量函式滿足：

1、；

2、各分量均連續，對滿足局部的條件，且在中正定。