有效域

在數學的一個分支——凸分析中，有效域是對定義域的擴展。如果一個凸函式映射到一般的實數域，則其有效域等價於一般的定義域。

基本介紹

• 中文名：有效域
• 外文名：Effective domain
• 領域：數學
• 分支：凸分析

定義

給定一個向量空間X，則一個映射到擴展的實數域的凸函式的有效域被定義為：

對於凹函式，其有效域為：

有效域的一個等價說法是上鏡圖的投影，即：

注意，如果一個凸函式映射到一般的實數域，即 ，則其有效域等價於一般的定義域。

函式 是適當的凸函式，若且唯若f是凸的,f的有效域非空，且對於任意 有 。

定義域

概述

定義域（Domain），是函式自變數所有可取值的集合。給定函式 ，其中 被稱為是 的定義域。 映射到陪域中的所有值的集合稱為 的值域，記作 。

例如，函式 在 時沒有定義。它的定義域可以是 。在此情形下，若補充定義 ，則 的定義域就可以是全體實數 。

任何函式都可以被限制到其定義域的子集上。限制函式 到 上，其中 ，可以記作 。

相關條目

• 陪域
  
• 值域
  
• 單射
  
• 滿射
  
• 雙射
  

凸函式

凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集（區間）上的實值函式，如果在其定義域上的任意兩點，以及，有

也就是說，一個函式是凸的若且唯若其上境圖（在函式圖像上方的點集）為一個凸集。

如果對於任意的有，函式是嚴格凸的。

若對於任意的，其中，都有，則稱函式是幾乎凸的。

凹函式

一個有實值函式f在某區間中（或者在某個向量空間中的凹集），任意x和y在[0,1]中的任意t，如果：那么這就是一個嚴謹的凹函式，當中x≠y和t是落於(0,1)。

某函式，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z,f(z) )是在以點(x,f(x) ) and (y,f(y) )連成的直線之上。