指數族分布

指數族分布(exponential family of distributions)亦稱指數型分布族，是統計中最重要的參數分布族，包含了二項分布、常態分配等。

基本介紹

• 中文名：指數族分布
• 外文名：exponential family of distributions
• 別稱：指數型分布族
• 舉例：二項分布、常態分配，伽馬分布等
• 所屬學科：數學

基本介紹

藉助指數族分布，對回響變數Y的描述將不再局限於常態分配，稱觀測來自指數族分布，如果其機率密度函式可以表達為如下形式：

其中：

(1) 是指數族的自然參數(natural parameter)，是我們感興趣的參數；稱為尺度參數或討厭參數；

(2) 以及是依據不同指數族而確定的函式。注意只由和決定。

指數族的均值和方差

指數族的均值、方差都有簡潔的表達式。由於

因此可知隨機變數的均值為

此外，由於

可以得到方差公式

常見指數族分布

指數族包含了很多常用的機率分布。例如，常態分配的密度函式為

上式可以化為(1)式的形式

對應於(1)式，我們有。由此可見，常態分配屬於(1)式所定義的機率指數族。

同樣的，Bernoulli分布也屬於指數族，這是因為它的機率密度函式

可以化為

再令可得

對應於(1)式，我們有。

此外，泊松分布的密度函式為

伽馬分布的密度函式為

泊松分布和伽馬分布都屬於指數族，下表總結了所有的指數族分布。

表1 指數族分布總結

常態分配
兩點分布
二項分布
泊松分布
伽馬分布