拓撲群

拓撲群

拓撲群又名連續群,是具有拓撲空間結構的群。在數學中,拓撲群 G 和與之一起的 G 上的拓撲,使得這個群的二元運算和這個群的取逆函式是連續的。拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念。

基本介紹

  • 中文名:拓撲群
  • 外文名:Topological group
  • 又名:連續群
  • 簡介:是具有拓撲空間結構的群
  • 套用學科數學
  • 相關術語:群
形式定義,同態,例子,性質,其他領域,參看,

形式定義

拓撲群G拓撲空間使得群運算
連續函式。這裡的G×G被看作使用乘積拓撲得到拓撲空間。
儘管我們這裡沒有做其他要求,很多作者要求在G上的拓撲是豪斯多夫空間。下面會討論其理由和一些等價條件。最後,這不是個嚴重的限制 — 很多拓撲群都可以用規範方式變成豪斯多夫空間。
使用範疇論的語言,拓撲群可以簡明的定義為在拓撲空間範疇內的群對象,如同普通的群是集合範疇的群對象一樣。

同態

在兩個拓撲群GH之間的同態就是連續群同態GH。拓撲群的同構則要求同時是群同構及對應拓撲空間的同胚。這比單純要求連續群同構要更強,因其逆函式必須也是連續。有作為普通群是同構的但作為拓撲群卻不同構的例子。實際上,任何非離散的拓撲群在用離散拓撲來考慮的時候也是(另一個)拓撲群。底層的群是一樣的(同構),但兩個拓撲群並非同構。
拓撲群和它們的同態一起形成一個範疇

例子

每個群可以平凡地變成一個拓撲群,這是通過給它一個離散拓撲達成地;這樣的群稱為離散群。在這個意義下,拓撲群的理論包含了普通群的理論。
實數R,以及加法操作和它的普通拓撲構成一個拓撲群。更一般的,歐幾里得空間R連同加法和標準的拓撲構成拓撲群。更一般的,所有拓撲向量空間(譬如巴拿赫空間希爾伯特空間)的加法群是拓撲群。
上面的例子都是阿貝爾群的例子。非交換群的例子有各種李群(是拓撲群也是流形)。例如,一般線性群GL(n,R)由所有可逆n×n實係數矩陣組成,可以視為拓撲群,其拓撲定義為將GL(n,R)作為歐幾里得空間R的子空間得到的子空間拓撲。所有李群是局部緊的。
不是李群的拓撲群的一個例子是有理數Q其拓撲從實數繼承。這是一個可數空間而它不是離散拓撲。對於一個非交換的例子,可以考慮R的旋轉群由繞不同軸作2π的無理數倍的兩個旋轉所生成的子群。
在每個帶乘法單位元的巴拿赫代數中,可逆元素的集合構成一個乘法下的拓撲群。

性質

拓撲群的代數和拓撲結構以非平凡的方式互相影響。例如,在任何拓撲群中單位分支(也就是包含單位的連通分支)是一個閉正規子群。
拓撲群G上的逆運算給出了一個從G到其自身的同胚。同樣,若a是G的任意元素,則a的左乘和右乘產生GG的一個同胚。
每個拓撲群可以兩種方式視為一個一致空間;“左一致性”將所有左乘變成一個一致連續映射,而“右一致性”將所有右乘變為一致連續映射。若G非交換,則這兩個一致性並不相同。這個一致性結構使得在拓撲群上討論完備性、一致連續、和一致收斂成為可能。
作為一個一致空間,每個拓撲群是一個完全正則空間。因而,若一個拓撲群是T0(也就是柯爾莫果洛夫空間),則它也是T2(也即豪斯多夫空間)。
兩個拓撲群之間的最自然的同態概念是一個連續的群同態。拓撲群,和作為態射的連續群同態一起,構成一個範疇
每個拓撲群的子群本身也是一個拓撲群,只要取子空間拓撲便可。若H是G的一個子群,所有左或右陪集G/H是一個拓撲空間,只要取商拓撲便可(G/H上使得自然投影q:GG/H連續的最細拓撲)。可以證明商映射q:GG/H總是開映射。
H是一個G的正規子群,則因子群,G/H成為一個拓撲群,而從普通群理論來的同構基本定理在這個範圍中也是成立的。但是,若H不是G的拓撲下的閉集,則G/H不是T0的,即使G是。因此很自然可以要求限制到只考慮T0拓撲群的範疇,並且限制定義中的正規到正規且閉。
H是G的子群,則H的閉包也是一個子群。同樣,若H是一個正規子群,則H的閉包也是正規的。

其他領域

對於調和分析有特殊重要性的是局部緊拓撲群,因為它們承認一個自然的測度積分的概念,由哈爾測度給出。在很多方面,局部緊拓撲群是可數群的一個推廣,而緊拓撲群可以視為有限群的一個推廣。群表示理論對於有限群和緊拓撲群幾乎是完全一樣的。

參看

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