設R為空間X中點的連通關係，每個等價類R[x]稱為空間X的一個連通分支。設Y為空間X的非空子集，Y作為X的子空間的連通分支稱為X的子集Y的連通分支。
基本介紹
- 中文名：連通分支
- 外文名：connected component
- 所屬學科：拓撲學
- 相關概念：連通性、拓撲空間、連通子集等
定義,定理,定理1,定理2,定理3,推論,定理4,示例,
定義
①設X為拓撲空間，
，若C滿足
(1)C是拓撲空間X的連通子集；
(2)C不是拓撲空間X的任意連通子集的真子集。則稱C為拓撲空間X的一個連通分支(或極大連通子集)。
②設X是多於一點的拓撲空間，若拓撲空間X的每個單點集都是X的連通分支，則稱X為完全不連通空間。
定理
定理1
設X為拓撲空間，則
(1)若A是拓撲空間X的連通子集，則存在X的連通分支C，使得
；
(2)拓撲空間X的任意兩個不同的連通分支不相交；
(3)拓撲空間X是若干個連通分支的並。
證明 (1)對於拓撲空間X的連通子集A，記
顯然，
，從而根據定理可知
是X的連通子集，並且 ．若有X的連通子集M使得
，則
，於是
，因此
，所以C是X的極大連通子集，即它是X的連通分支。
(2)設
，
是X的兩個不同的連通分支，若
，則
是X的連通子集，從而
，所以根據連通分支 ， 的極大性可知 = 。
(3)因為對於任意
，
是X的連通子集，從而存在連通分支
使得
。所以
.
此定理表明，拓撲空間X的所有連通分支之族是X的一個分類。換言之，X的每個連通分支都是非空集；X的不同連通分支不相交；X的所有連通分支之並為X。
定理2
拓撲空間的每個連通分支都是閉集。
證明 設C是拓撲空間X的任意連通分支，因為C是X的連通子集，從而
也是X的連通子集，所以由連通分支的極大性可知
，即C是閉集。
定理3
若C是空間X的連通分支，則C是連通的。
推論
空間X的每個連通分支C都是X的極大連通子集，換言之，C是一個連通集，且不是其它連通集的真子集。
定理4
示例
例1 多於一點的離散空間是完全不連通空間。
例2 拓撲空間X是連通空間若且唯若X是它的唯一連通分支。
例3 空間X連通
X是它自己唯一的連通分支．
例4 離散空間X的連通分支恰是它的所有單點集
，
例5 Q作為數直線R的子空間不連通，Q的連通子集也是數直線R的連通子集，從而只能是區間或單點集，但任何區間
，故Q的每個連通分支是單點集 ，x∈Q．這種連通分支均由一個單點組成的空間通常稱為完全不連通空間，因單點集 不是Q的開集，可見連通分支不必是開集。
