一致連續

某一函式f在區間I上有定義，如果對於任意的ε>0，總有δ>0 ，使得在區間I上的任意兩點x'和x"，當滿足|x'-x"|<δ時，|f(x')-f(x")|<ε恆成立，則該函式在區間I上一致連續。對於在閉區間上的連續函式，其在該區間上必一致連續。一致連續的函式必定是連續函式。

基本介紹

• 中文名：一致連續
• 外文名：Uniform Continuity
• 所屬學科：高等數學
• 特點：一致連續的連續性比連續更強
• Cantor定理：f在[a,b]連續則在該區間一致連續
• 性質：一致連續的函式必定是連續函式

定義

設函式在區間I上有定義，如果，，使得對於在區間I上的任意兩點，當時，恆有，則稱函式在區間I上一致連續。

參數僅與有關，與所選取的任意兩點無關，即。

意義

從上述定義中可以看出，當函式在區間I上一致連續時，無論在區間I上的任何部分，只要自變數的兩個數值接近到一定程度，總可以使相應的函式值達到預先指定的接近程度。

定理

定理1 Cantor定理或一致連續性定理

若函式在上連續，則在上一致連續。

定理2

若函式為上的連續周期函式，則在上一致連續。

定理3

若在有限開區間上嚴格單調且連續，則其反函式在區間上一致連續。

定理4

設在上連續，若和都存在，則在上一致連續。

定理5

設對於定義在區間I上的函式，，，有

成立，若在I上一致連續，則在I上也一致連續。

性質

1）設函式 在區間 和 上一致連續，若 ，則 在 上也一致連續；

2）若函式 都在區間I上一致連續，則 也在區間I上一致連續；

3）若 在有限區間I上一致連續，則 在I上有界；

4）若函式 都在有限區間I上的有界的一致連續函式，則在區間I上也一致連續；

5）若在定義域I上一致連續，其值域為U，在U上一致連續，則在I上一致連續。

舉例

函式在上一致連續。

證明如下：

①任取，由三角函式可知在閉區間上連續，由上述的定理1可知，在上一致連續。

②對於區間，對，取，對，當時，有

即在區間上一致連續。

綜上，在上一致連續。