弧長

一般指半徑為R的圓中，n°的圓心角所對弧長為nπR/180°，廣義上指光滑曲線的弧長。

基本介紹

• 中文名：弧長
• 外文名：arc length
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：連續曲線、光滑曲線、連續可導等

基本概念

在研究曲線時，我們總引進弧長作為參數，一方面是由於曲線的一般參數 t 不具有任何幾何意義，另一方面，因為弧長是曲線的剛體運動不變數，用弧長作參數，可大大簡化公式，並較容易導出其他不變數。

圖1曲線的弧長

設 為連續曲線(如圖1)。它的端點分別為A，B，在A，B之間任取n-1個點：P₁，P₂，…P_n-1。為方便計，把A寫成P₀，把B寫成P_n。它們將Γ分成n段。設各點對應的參數依次為a=t₀，t₁，t₂，…，t_n-1，t_n=b。用直線段連結相鄰的點，得到一折線形，它的長：

當分點無限增加時，若σ_n趨於一個與分點的選擇無關的確定極限，則稱此極限為曲線段AB的弧長。

曲線 有長度的充要條件是其坐標函式 為有界變差函式。特別，微分幾何中考慮的 類曲線(k≥1)都有長度。曲線Γ在[t₀，t]之間的長度可用公式：

表示。弧長稱為曲線的自然參數。

在取自然參數時，曲線的方程：

此時，有 ( 表示對弧長s的導矢)，反之，若 ，則t可視為曲線從某點量起的弧長參數。

弧長的計算

下面我們用微分元素法計算曲線的長度。

圖2

設平面曲線C的參數表示為

其中 與 連續可導，且 ，這樣的稱為光滑曲線，如圖2.

顯然這時曲線的長度L對於區間 可加．且對任意的 與小區間 相應的弧長

故由微分元素法可知曲線總長為

同樣，對於空間光滑曲線

曲線總長為

若平面光滑曲線C被表達成了直角坐標形式

則C也有參數表示

故由公式(1)可知這時

例1 證明：圓 的周長是 。

證明: 由對稱性可知所求周長是第一象限部分長度的4倍，在第一象限中圓的參數方程是

故由公式(1)得圓的周長

扇形的弧長與計算公式

半徑為R的圓中，n°的圓心角所對弧長的計算公式為