庫默爾擴張

庫默爾擴張是(Kummer extesion)是阿貝爾擴張的一種類型。因首先由E.E.庫默爾研究而得名。阿貝爾擴張是代數數論研究的主要對象。

基本介紹

  • 中文名:庫默爾擴張
  • 外文名:Kummer extesion
  • 領域:數學
  • 學科:類域論
  • 性質:阿貝爾擴張的一種類型
  • 提出者:庫默爾
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概念

庫默爾擴張是(Kummer extesion)是阿貝爾擴張的一種類型。設E是域F的一個阿貝爾擴域,若E/F的伽羅瓦群G=G(E/F)中元素的最大階數為m(m稱為G的指數),並且F含m個不同的m次單位根,則E稱為F的庫默爾m擴張;E稱為庫默爾域。例如,設F含本原n次單位根,且E為多項式:
在F上的分裂域,則E是F的庫默爾n擴張。此時,E是F的阿貝爾擴域且F的特徵數不能整除n,於是,x-ai在E內無重根,所以,E/F是可分的,從而是正規的。

阿貝爾擴張

阿貝爾擴張(Abelian extension)是一類重要的域擴張,設K是域F的伽羅瓦擴域,若其伽羅瓦群G(K/F)為一阿貝爾群,則稱此擴張為阿貝爾擴張,此時,K稱為F上阿貝爾擴域。這是一類較廣泛的域擴張,循環擴張、分圓擴張及庫默爾擴張等均為阿貝爾擴張的特例。

多重阿貝爾擴張

多重阿貝爾擴張(multiple Abelian extension)是由一串阿貝爾擴域構成的域擴張,設K是域F的擴域,若存在K的一串子域鏈
使得
的阿貝爾擴域,則稱K為F的多重阿貝爾擴張,或多重阿貝爾擴域。根式擴域、素階群擴張塔皆為多重阿貝爾擴域。

分圓域擴張

分圓域擴張(cyclotomic field extension)是一類重要的阿貝爾擴張,設Ω是域F的代數閉包,其中間域K稱為F的一個分圓擴域,若K是通過對F添加某些單位根而生成的,此域擴張稱為分圓域擴張。K是域F的有限次分圓擴域的充分必要條件為,存在一個本原單位根ξ∈K,使K=F(ξ)。對有理數域Q添加一個本原n次單位根ξ所得的分圓擴張Q(ξ)稱為圓的n分域,它是有理數域Q的φ(n)次阿貝爾擴域,其中φ(n)為歐拉函式。n分域來源於
其中
,從而可將單位圓n等分。

類域論

基本介紹

類域論是代數數論中最為重要的理論之一,也是數學所有理論中體系最為完美的理論之一,它深刻地刻畫了(相對)阿貝爾擴張。
類域論是描述下列幾種類型的域k的Abel擴張(Galois群是交換群的有限Galois擴張)的理論:
(1)k為代數數域,即有理數域Q的有限擴張;
(2)k是p-adic數域
的有限擴張;
(3)k是有限域上一個變數的代數函式域;
(4)k是有限域上的形式冪級數域。

類域論基本定理

在類域論中,最為著名的就是由Kronecker,Weber,HiIberr還有其他一些數學家總結出來的類域論基本定理:
定理1(類域論基本定理)
是數域的有限Abel擴張,其Galois群為
,則存在k的模
(稱為
的導子,是的一個除子)。
(1)使得對k的任意模m,由
得出
其中
為與m互素的k的理想集,
為與m互素的K的理想到k的范的全體,
為模m餘1的
生成的主理想集;
(2) k的素除子v在K分歧若且唯若
;k的與m互素的素理想p在K中完全分裂若且唯若
(3) 對k的任意模m和
的任一含
的子群H,總存在唯一的Abel擴張
使得
,特別地
定理中,
稱為射線理想類群,所謂射線理想類群即是一種廣義理想類群,它是類域論最初的表述語言(馬上將會用伊代爾語言給出類域論基本定理)。數域k的一個模(或稱為閉鏈)是指其素除子的一個形式積
此積式中v遍歷k的素除子,整數
只對有限個v非零,且當v是實除子時
或1,當v是復除子時
。對於
,定義
(當v是
素除子)以及
到vC嵌入為正實數(
為實除子)。滿足
生成的主理想的全體記為
,與m互素的k的理想全體記作
,於是
便稱為k的以m為模的射線理想類群,其元素個數
稱為射線理想類數。
上面已經提到,射線理想類群是類域論基本定理的最初表述語言,而更常用的是伊代爾語言,下面就給出類域論基本定理的伊代爾語言。
定理1'(類域論基本定理的伊代爾語言)
是數域的有限Abel擴張,則
其中
為k的伊代爾群,
表示K的伊代爾群到k的範數。
上述群的同構是由Artin映射(Artin符號)給出的。由類域論基本定理的伊代爾語言可以看出,數域k的所有具有Abel擴張
的含
的所有開子集H之間存在一一對應關係,即K對應於
,稱為H的類域(Class Field),且
(類域論主同構)
(2)和(4)類型的域稱為局部的,(1)和(4)類型的域稱為整體的。於是,相應的就有局部類域論整體類域論

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