希爾伯特類域(Hilbert class field)亦稱最大非分歧阿貝爾擴張。一種重要的類域。最早由希爾伯特(Hilbert，D.)於1898年至1899年猜出，後來發展為系統而一般的類域論。
基本介紹
- 中文名：希爾伯特類域
- 外文名：Hilbert class field
- 領域：數學
- 學科：類域
- 別稱：最大非分歧阿貝爾擴張
- 性質：一種重要的類域
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概念
希爾伯特類域(Hilbert class field)亦稱最大非分歧阿貝爾擴張。一種重要的類域。最早由希爾伯特(Hilbert，D.)於1898年至1899年猜出，後來發展為系統而一般的類域論。數域k的希爾伯特類域K有下列性質：
1.伽羅瓦群G(K/k)與k的理想類群同構。
2.k的素理想p在K完全分裂若且唯若p為主理想。
3.K是k的最大非分歧(對有限和無限素除子)阿貝爾擴張。
4.k的任一理想到K均為主理想。
阿貝爾擴張
阿貝爾擴張是一類重要的域擴張。設K是域F的伽羅瓦擴域，若其伽羅瓦群G(K/F)為一阿貝爾群，則稱此擴張為阿貝爾擴張，此時，K稱為F上阿貝爾擴域。這是一類較廣泛的域擴張。循環擴張、分圓擴張及庫默爾擴張等均為阿貝爾擴張的特例。
域擴張
域擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α1，α2，…，αn}是有限集合時，F(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α1，α2，…，αn)≠0。
由於這個原因，當F(α1，α2，…，αn)關於F的超越次數≥1時，F(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
類域
代數數論的重要理論之一。它深刻地刻畫了(相對)阿貝爾擴張.基本定理如下：若K/k為數域的有限阿貝爾擴張，伽羅瓦群為G=G(K/k)，則存在k的模f(稱為K/k的導子，是k的一個除子)，使得對k的任意的模m，由f|m得出G同構於m射線類群I(m)/PmN(m)，式中I(m)為與m互素的k的理想集，N(m)為與m互素的K的理想到k的范全體，Pm為模m餘1的α∈k生成的主理想集。且k的素除子v在K分歧若且唯若v|f；k的與m互素的素理想p在K完全分裂若且唯若p∈PmN(m)。反之，對k的任一模m及I(m)的任一含Pm子群H，總存在惟一阿貝爾擴張K/k，使得H=kPmN(m)且上述事實均成立。特別地，G(K/k)I(m)/H.更經常的是用伊代爾語言敘述類域論的定理。基本定理：若K/k為數域的有限阿貝爾擴張，則伽羅瓦群G(K/k)同構於Jk/kNJk，式中Jk為k的伊代爾群，NJK為K的伊代爾群到k的范。上述群的同構由阿廷映射給出。由此可得出，數域k的諸有限阿貝爾擴張K/k與Jk的含k諸開子群H之間一一對應，即K對應於H=kNJK，稱為H的類域，G(K/k)Jk/H；這一對應是這兩個格(對於複合(或積及交))的反向(包含關係)格同構。類域論有系統的定理和套用，有多種不同的表述方式。對於局部域的阿貝爾擴張有類似的定理(局部類域論)，對於有限域上的單變數函式域也有類似的定理。
希爾伯特
德國數學家。出生於普魯士的哥尼斯堡。1882—1885年在哥尼斯堡大學學習。在學期間，受到著名數學家雅可比、維爾斯特拉斯、費·紐曼、韋伯等人的指導，大大激發了數學興趣和才能。他的兩上好友A·胡爾威茨和閔可夫斯基對他數學方面的成長也產生過巨大的影響。 1885年，他因不變式理論方面的論文獲博士學位。 1892年任母校的數學副教授。1895年由F·克萊因的提議擔任了哥廷根大學的教授。哥廷根大學是具有優秀數學傳統的學府，高斯、黎曼等人曾在這裡工作。希爾伯特在這裡團結了一大批當代的著名數學家和物理學家，使哥廷根成了20世紀前期世界數學的中心與理論物理學家聚會的場所。他逝世的前一年被柏林科學院授予榮譽院士的稱號。希爾伯特不愧是本世紀領頭的數學家。他的數學興趣十分廣泛，並且所到之處都留下了光輝足跡。早期研究不變式理論。採用直接的、非算法的方法證明了果爾丹證明的代數不變式整基有限完備系的存在定理，對後來的抽象代數的發展起了推動作用。重新整理了歐幾里得幾何的公理體系，於1899年發表了 《幾何基礎》一書，把歐幾里得幾何整理為從公理出發的純粹演繹系統，並把注意力轉移到公理系統的邏輯結構，成為近代公理化思想的代表作。他提出的狄里克萊原理以及對積分方程、變分法、華林問題的研究，在數學史上都很有意義。晚年致力於數學基礎問題，把公理系統的無矛盾性看成數學可靠性的標準，是數學基礎中形式主義學派的代表人物。1990年他在巴黎國際數學家代表會上的講演中提出23個數學問題，概括了19世紀數學發展中暴露的主要問題，後來稱為希爾伯特問題。對西方的數學研究有較大的影響。希爾伯特為後人留下的著作有《數論報告》、《線性積分方程一般理論基礎》、《幾何基礎》，以及其他論文3卷，還有與別人合寫的 《數理邏輯基礎》、《數學物理方法》、《直觀幾何學》、《數學基礎》。
