純量擴張

純量擴張(scalar extension)是常用的代數基域擴張，它對域上中心單代數結構的研究有重要作用。

域擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

基本介紹

• 中文名：純量擴張
• 外文名：scalar extension
• 領域：數學
• 學科：域論
• 性質：代數基域擴張
• 相關詞：單代數、中心單代數

概念

純量擴張(scalar extension)是常用的代數基域擴張，它對域上中心單代數結構的研究有重要作用。若A是R代數，S是交換的R代數，則A_S=A_RS是S上代數，稱為A的純量擴張。純量擴張有如下基本性質：

其中T是包含S的任一R交換代數。若K是域F的有限擴張，則域F上中心單代數A的純量擴張A_K仍是K上中心單代數。

域擴張

域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α₁，α₂，…，α_n}是有限集合時，F(α₁，α₂，…，α_n)稱為添加α₁，α₂，…，α_n於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如：

的元組成，其中α₁，α₂，…，α_n∈S，f，g是F上的n元多項式且：

由於這個原因，當F(α₁，α₂，…，α_n)關於F的超越次數≥1時，F(α₁，α₂，…，α_n)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。

單代數

與群論中單群類相對應的基本代數。一個代數R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，則稱R為弱單代數。弱單代數可分兩類：一類是R≠0，此類代數稱為單代數，它的冪零根為零；另一類是R=0，R稱為零乘環，它的冪零根是R本身。域F上的全矩陣環是單環，也是F上的單代數。F上有限維單代數必含單位元。

中心單代數

中心單代數亦稱正規單代數。結構較清楚的一類重要單代數。若域F上代數A的中心是F本身，則稱A為中心代數(正規代數)。中心是F的F單代數稱為中心單代數。每一個有單位元的單代數都是其中心上的中心代數，所以有單位元的單代數的研究可歸結為對純量擴張與中心單代數的研究。有限維單代數恆有單位元，所以恆為其中心上的中心單代數。然而域F上無限維單代數A未必有單位元，但此時A的形心是域，設為C，通常稱A為C(特別地C=F時)上中心單代數。當A有單位元時，A的形心就是A的中心.任何單環都是形心上中心單代數。

交換代數

以交換環為主要研究對象的一門代數學科。它是以代數數論和代數幾何學為背景而產生與發展的，並為這兩個古老的數學分支提供了新的統一的工具。

18世紀末到19世紀中期，高斯和庫默爾等人在研究關於有理整數性質和方程的有理整數解的時候，把這些初等數論問題放在二次域、分圓域以及它們的代數整數環中進行考慮，經過戴德金和希爾伯特等人的抽象化和系統化，形成了研究代數數域和它的代數整數環的一個新學科，即代數數論。1882年戴德金提出的理想與素理想的概念為一維交換代數奠定了基礎。比數論稍晚些時候，幾何學也經歷了代數化的過程，多維交換代數開始在代數幾何中形成。從19世紀末開始，由於希爾伯特等人的工作，特別是20世紀20—30年代德國數學家A.E.諾特關於理想理論和克魯爾建立的賦值論、局部環理論和維數理論，為古典幾何提供了全新的代數工具。從此，交換代數成為一門獨立的學科。

20世紀50年代以後，交換代數得到很大發展，模論的研究，同調代數和各種上同調理論的建立，特別是法國數學家格羅唐迪克的概形理論，對於交換代數的發展起了巨大的推動作用。利用概形理論，比利時數學家德利涅於20世紀70年代初證明了著名的韋伊猜想。

現在，交換代數的運用，已深入到微分拓撲與代數拓撲、多複變函數論、奇點理論，甚至偏微分方程等學科。

域論

域論（Field Theory）是抽象代數的分支，是不少學科的基礎，是代數學中最基本的概念之一，且歷史悠久。研究域的性質，簡單地說，一個域是在其上有"加法"、"減法"、"乘法"和"除法"的代數結構。

域是許多數學分支(如代數、代數數論、代數幾何等)研究的基礎，而有限域則在近代編碼、正交試驗設計和計算機理論中都有重要套用，通過理想來研究環，這是研究環的基本方法。但是，由於域只有平凡理想，因此無法通過域的理想來研究域，要研究域，必須採取別的方法，其中最基本的方法就是通過對域添加若干元進行擴張，域的擴張起源於數域的擴張。

早在19世紀初，伽羅華在研究代數方程的著作里就出現了域的概念的萌芽，後來戴德金(J.W.R.Dedekind)和克羅內克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系統研究域的理論始於韋伯(H.Weber)，而域的公理系統是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷頓(E.V.Huntington)分別於1903和1905年獨立創立的。在韋伯等人的影響下，施泰尼茨(E.Steinitz)對抽象域進行了系統研究，於1910年發表論文“域的代數理論”，對域論本身以及相關科學的發展產生重大影響。

域的概念最初被阿貝爾和伽羅瓦隱含地用於他們各自對方程的可解性的工作上。

1871年，理察·戴德金將對於四則運算封閉的實數或複數集稱為“域”。

1881年，利奧波德·克羅內克定義了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相當於今稱之數域。

1893年，安里西·韋伯給出抽象域的首個清晰定義。

1910年，施泰尼茨於1911年發表了論文《域的代數理論》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。論文中他以公理化的方式研究了域的性質並給出了多個域的有關術語，比如素域、完全域，和域擴張的超越次數。

雖然伽羅瓦並未提出域的概念，但一般被譽為是首個將群論和域論連繫起來的數學家，伽羅瓦理論便以他命名。事實上，埃米爾·阿廷在1928至42年間才將群和域的關係大大地發展。