基本介紹
- 中文名：序域
- 外文名：ordered field
- 簡介：有序結構的域
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：域論(序域)
基本介紹,相關概念與定理,
基本介紹
設F是任意域；以0，1分別表示它的零元和乘法單位元。若-1不能表作F中的平方和，就稱F為實域（或者形式實域）。常見的有理數域Q和實數域R，都是這個意義下的實域；但複數域C以及有限域，都不是實域。
對於F中任何子集P，今規定以下記法
定義1設P為F的子集，如果滿足條件：
(1)
；
(2)
； （1）
(3)
，
則稱P是F的一個正錐。
當P是F的正錐時，從上述條件不難得知
；以及對於任何
，皆有
。從F的正錐P，可以定出F中一個二元關係
如下：
從(1)式可知應滿足以下的條件：
(1)
；
(2) 對於任何二元素
，必有，或者
；
(3) 由和，得到
；（3）
(4) 由和
，得到
；
(5) 由有
；
(6) 由
和
，得到
。
當與
同時成立時，我們簡記作
。
如果以P記
，則若且唯若
。
我們稱≤為P所定的序關係。一般而言，任何一個定義在F上，且滿足(3)的二元關係≤，都可稱作F的序關係。當給定了F的一個序關係≤，我們也可以反過來在F上定出正錐。令
一個在其中可以定出序的域，稱作可序的，或者可序域，可序域一般可以有許多序，當我們特別取定F的某個序P時，就稱F為序域，記以(F，P)，或者(F，≤)。
相關概念與定理
在可序域中，不同的序之間，不存在集包含關係（作為正錐而言）。這是下述引理所指出的：
引理1設
是F的兩個序，若有
，則套用
。
命題1可序域必定是實域；可序域的特徵只能是0。
為了進一步闡明可序域與實域的關係，現在再引進一個概念：
定義2設Q是F的一個子集。若有：
(1) 
；
(2)
； （4）
(3)
；
則稱Q是F的一個亞正錐，或者說，Q給出F的一個亞序。
以下為簡便計，也逕稱Q為F的亞序；此時又稱
為一個亞序域。從定義立即知道
；並且，亞序域是實域，反之，當F是實域時，
；此時
；滿足條件(4)。因此，是F的一個亞序，又按集包含關係，是最小的亞序，所以也稱作F的弱亞序。實域，可以作為亞序域
。
與序的情形不同，在實域的亞序之間，可以有集包含關係存在，今有：
引理2F中按集包含關係的極大亞序，就是F的一個序。
命題2實域一定是可序的。
由命題1和2，即得：
定理1F成為實域，若且唯若F是個可序域。
引理2尚可作進一步的強化如下：
引理3設(F，Q)是個亞序域，
。於是存在F的某個序P，使得有
，以及
。
我們稱滿足
的序P為亞序域(F，Q)的一個序，從上述引理立即得到：
定理2對於亞序域(F，Q)，等式
由於實域F可作為亞序域，故有
推論（阿廷定理）對於實域F，等式
在序域(F，P)中，可以引入一些與通常相類似的概念，對於元素
，今規定它的絕對值
，如下
最後還應指出，(6)的左邊對於任何域都是有意義的。如果F不是實域，同時它有特徵≠2，則任何
都可以表如
把序和亞序的概念推廣到交換環上，現在設A是一個帶有單位元素1的交換環；以
記A中由所有的有限平方和所成的子集，與域的情形一樣，我們稱A中滿足定義2的子集Q為A的一個亞正錐，或者逕稱作A的亞序，當
時，
本身就是A的一個亞序。這個亞序也稱作A的弱亞序，就環的情形而論，今有一個與引理2相類似的結論：
引理4對於A的任何一個給定的亞序
，必然存在亞序Q，滿足
，以及
根據這個引理，我們把滿足上式的亞序稱作交換環A的序；又稱素理想J為序Q的支柱，記作
。於是得到了：
