幾何背景下的數學物理方法

《幾何背景下的數學物理方法》是2017年6月高等教育出版社出版的一本圖書，作者是常晉德。

基本介紹

• 書名：幾何背景下的數學物理方法
• 作者：常晉德
• ISBN：978-7-04-047370-4
• 類別：理工科數學
• 頁數：499
• 定價：58元
• 出版社：高等教育出版社
• 出版時間：2017年6月
• 裝幀：平裝
• 開本：16

內容簡介

這是一本由高等教育出版社於2017年6月出版的數學物理方法教材。內容除包括傳統的複變函數、數學物理方程、特殊函式和積分變換外，還概述了微積分中的數學思想，簡單介紹了廣義函式的入門知識。本書觀點新穎，極具啟發性，內容由淺入深，同時又能深入淺出。不同於同類書籍，本書注重對數學概念的闡述，注重對知識的來龍去脈的交代，注重把數學思想方法和具體的數學知識融為一體，以此來不斷提升讀者對數學知識的認識和理解水平。本書尤為注重幾何直觀的引導作用，儘量以平面和函式空間為背景闡述全書內容，對數學物理方程的常用解法，諸如分離變數法和積分變換法等的原理都做出了幾何解釋。並且，從推廣函式空間的坐標表示的角度引出廣義函式的概念，實現了從函式概念到廣義函式概念的自然過渡。全書為讀者進一步學習泛函分析鋪平了道路。

本書是面向理工科非數學類、非物理學類專業大學生的數學物理方法課程的教材，對數學類和物理學類專業的師生來說也是一本優秀的參考書。本書寫作詳細，適合自學。

序言

這部分摘自《幾何背景下的數學物理方法》中的序言。

通常工科數學教材都強調數學知識的工具性和實用性，重點放在了對數學的套用上，忽略對知識的來龍去脈的交代，也不重視學生對數學概念的理解。這樣做的缺點是學生的數學水平始終停留在較低的層次上。可是科學技術的發展，已經要求工科大學生學習越來越多的數學知識。像實變函式和泛函分析這些對數學專業的學生都很抽象，學習難度很大的課程已經進入了我國許多高校的工科研究生的教學範圍。但現有的工科本科數學教學卻沒有做好鋪墊和銜接工作。另外, 國內許多高校都開設了工科數學分析課程。這說明很多人已經認識到傳統的高等數學的教學內容和教學方式已經不能再滿足學生後續學習的需求。不同於同類書籍，本書注重對數學概念的闡述，注重對知識的來龍去脈的交代，注重把數學思想方法和具體的數學知識融為一體, 以此來不斷提升學生對數學知識的認識和理解水平。本書將為讀者開闢一條直通泛函分析的道路。

在數學產生之初，雖然是代數與幾何並立，但由於幾何的形象直觀，人們更願意把數學的根基建立在幾何之上。但不可公度線段的發現和非歐幾何的產生，讓人們認識到幾何不是絕對可靠的數學知識，開始以代數為數學的根基。在微積分上百年的嚴密化過程中，邏輯開始深入人心，在數學中占據絕對主導地位，而直觀開始遭到排斥。雖然在1931年，哥德爾不完備性定理的提出已經說明了數學知識不可能通過公理化為這個大廈建立絕對可靠的根基，但重邏輯、輕直觀的思潮並未受到太大的影響。直至1997年Tristan Needham教授出版Visual Complex Analysis（有中譯本《可視化複分析》）一書以來，在數學領域掀起了一股可視化的潮流。所謂可視化，其實就是從幾何的角度看分析學或代數學的問題。如果我們追溯分析學的歷史源頭的話，就會發現解析幾何就是代數與幾何融合的產物。微積分，乃至整個分析學都可概括為

分析學=幾何的背景+代數的語言+無窮的問題。

所以從幾何的角度闡述分析學是一個自然的途徑。

著名數學家阿蒂亞在南開大學2000年的一個報告中指出：視覺占用了大腦皮層的80\%或90\%。……因此空間直覺或空間觀察力是一種非常強有力的工具，也是幾何學在數學上占有如此重要位置的原因，它不僅僅對那些明顯具有幾何性質的事物可以使用，甚至對那些沒有明顯幾何性質的事物也可以使用。我們努力將它們歸結為幾何形式，因為這樣可以讓我們使用我們的直覺。我們的直覺是我們最有力的武器。

本書的主體由數學物理方法的傳統教學內容：複變函數和數學物理方程（即偏微分方程）構成。複變函數屬於明顯具有幾何性質的事物，數學物理方程則屬於沒有明顯幾何性質但可歸結為幾何形式的事物。

我國著名數學家徐利治教授曾說過：“我們學習數學理論、方法或數學定理時，怎樣才算真正懂了呢？事實上，只有作到直觀上懂才算‘真懂’。所謂‘真懂’的意思是指：對數學的理論、方法或定理能洞察其直觀背景，並且看清楚它是如何從具體特例過渡到一般（抽象）形式的。” “從感性到理性，從生動的直觀到抽象思維，這是任何一位數學工作者都必須遵循的認識規律。數學直覺既是抽象思維的起點，又是其歸宿。通過抽象思維，對數學的本質有所洞察，有所概括，這樣就形成了更高層次的數學直覺，從而又可進行更高層次的創造性思維活動。”

本書力圖以幾何為背景，首先讓讀者能直觀地認識複變函數的內容，然後通過建立函式空間的概念，引導讀者形成高層次的數學直覺，從而可以直觀地學習數學物理方程的各種主要解法。本書通過建立函式空間中的坐標系概念，將求解線性偏微分方程的兩種基本解法：分離變數法和積分變換法都解釋為坐標法。求解線性偏微分方程的基本解和格林函式法需要在廣義函式論的基礎上才能將其闡述清楚，但由於廣義函式論太過抽象難懂，大多數同類教材都迴避了這種講法。但本書將函式空間上的線性連續泛函解釋為函式的坐標表示的一種推廣形式，開闢了一條理解廣義函式概念的新途徑，實現了函式概念到廣義函式概念的自然過渡，使得廣義函式論對非數學專業的本科生不再高不可攀。

本書的寫作耗費了作者數年之久的時間，為達到讓讀者理解本書內容的目的，寫作的切入點更換了數次。這些寫作動機已經交織在了一起，每一個寫作動機都在本書中留下了深深的印記。所以從幾何的角度闡述全書內容只是本書的一個主要寫作目標。其餘的寫作目標羅列如下：

1、從微積分的數學思想起步來闡述全書內容。

所以本書以概述微積分中的數學思想開頭，然後通過“溫故而知新”的方式引出複變函數的內容和函式空間中的坐標系概念。

分析學是與無窮打交道的數學分支。本書開篇就直入主題，將無窮的問題擺到讀者面前，讓讀者知道將要面對什麼。學習分析學就必然會和各種極限過程（例如讓許多人頭痛的無窮級數），和無窮維空間打交道。希望讀者儘早認識到畏懼無窮的心態是不可取的，既然避無可避，還不如勇敢面對。

2、從數學方法論的角度闡述本書內容，揭示數學知識被創造的過程。在美國國家研究委員會1989年的一份報告《人人關心數學教育的未來——關於數學教育的未來致國民的一份報告》中指出：

實在說來，沒有一個人能教數學，好的教師不是在教數學而是能激發學生自己去學數學。教育調查提供了令人信服的證據，那就是只有當學生通過自己的思考建立起自己的數學理解能力時才能真正學好數學。

所有學生學習數學時都在從事大量的創造。他們按自己的想法去解釋所學的東西時，就像在創造一種理論去弄懂這些東西；他們不是簡單地複習學過的內容，而是用新的觀點去改造原有的想法。

根據上述觀點，數學學習的過程是數學知識被重新建構的過程。因此只有向學生展示數學知識的創造過程，才能更好地幫助他們學習和理解所學的數學知識。

3、融入數學史材料，借鑑歷史的經驗。

4、把數學科普讀物的寫作手法引入到數學教材的寫作中來。

在這方面, Stenplen Fletcher Hewson教授所著的A Mathematical Bridge: An Intuitive Journey in Higher Mathematics（有中譯本《數學橋：對高等數學的一次觀賞之旅》）是一個成功的嘗試。在國內則有劉里鵬所著的《從割圓術走向無窮小------揭秘微積分》。只不過劉里鵬寫作此書時只是一個非數學專業的大一學生，而且只用了40天時間便完成了寫作。所以劉里鵬所著的書在專業水準方面有所欠缺，未引起數學專業人士的關注。

5、貫徹“數學是常識的精微化”思想，將抽象的數學和生活實際聯繫起來。

目錄

第零章 微積分中的數學思想概述
0．1 微積分的起源
0．1．1 無法迴避的無窮
0．1．2 微積分的前身：解析幾何
0．2 極限的思想
0．2．1 數列極限和數項級數的收斂性
0．2．2 代表離散和連續的兩種無窮量
0．2．3 函式的極限
0．3 微積分的一般思想：化整為零和從局部人手
0．3．1 化整為零：整體問題分解為局部問題
0．3．2 在局部以直代曲的思想
0．4 聯繫微分學和積分學的樞紐：牛頓-萊布尼茨公式
0．5 冪級數：函式的一種統一的解析表示形式
0．6 解析幾何中的數形結合思想——空間坐標系
0．7 對付高維空間問題的利器：降維法
0．7．1 直接分解降維法
0．7．2 向量分解降維法
0．8 化曲為直的思想
0．8．1 參數方程的妙用
0．8．2 坐標變換：換個角度看問題
0．9 高維空間中的微積分基本定理
0．9．1 格林公式和高斯公式
0．9．2 第二類曲線積分的路徑無關性
第一部分 複變函數論
第一章 複數與複變函數
1．1 複數
1．1．1 複數及其基本代數運算
1．1．2 複數的幾何意義
1．1．3 複數的模與輻角
1．1．4 複數的乘冪與方根
1．1．5 共軛複數
1．1．6 復球面與無窮遠點
1．2 複變函數的基本概念
1．2．1 複變函數的概念
1．2．2 複平面上的曲線和區域
1．2．3 複變函數的幾何意義
1．2．4 複變函數的極限和連續性
習題一
第二章 解析函式
2．1 解析函式的概念
2．1．1 複變函數的導數與微分
2．1．2 解析函式

習題二
第三章 複變函數的積分

3.1 復積分的概念和性質

3.2 柯西積分定理

3.3 柯西積分公式及其推論

3.4 解析函式與調和函式之間的關係

3.5 解析函式的物理意義

習題三

第四章 解析函式的級數展示

4.1 復級數的基本性質

4.2 冪級數

4.3 解析函式的泰勒展式

4.4 解析函式的洛朗展式

4.5 解析函式的孤立奇點

習題四

第五章 留數及其套用

5.1 留數

5.2 利用留數定理計算實積分

5.3 輻角原理和儒歇定理

習題五

第六章 共形映射

6.1 單葉解析函式的映射性質

6.2 分式線性變換

6.3 某些初等函式所構成的共形映射

習題六

第二部分 數學物理方程

符號說明表

第七章 數學物理方程的導出和基本概念

7.1 數學物理方程的導出

7.2 數學物理方程的一般概念

7.3 定解問題

7.4 線性函式空間和線性運算元

7.5 二階線性常係數偏微分方程的分類和化簡

習題七

第八章 分離變數法

8.1 有界弦的自由振動

8.2 有界桿的熱傳導問題

8.3 正則施圖姆——劉維爾特徵值問題

8.4 非齊次定解問題的處理

8.5 二維拉普拉斯方程的邊值問題

8.6 高維空間有界區域上的偏微分方程定解問題概述

習題八

第九章 特殊函式及其套用

9.1 特殊函式的引出

9.2 二階線性變係數常微分方程的冪級數解法

9.3 勒讓德多項式的性質與套用

9.4 連帶勒讓德函式的性質與套用

9.5 貝塞爾函式的性質與套用

9.6 修正貝塞爾函式

9.7 球貝塞爾函式

9.8 可化為貝塞爾方程的微分方程

習題九

第十章 積分變換法

10.1 傅立葉變換法

10.2 半無界問題: 傅立葉正餘弦變換和延拓法

10.3 拉普拉斯變換法

習題十

第十一章 波動方程的初值問題

11.1 一維波動方程的定解問題和行波法

11.2 三維波動方程的初值問題

11.3 二維波動方程的初值問題和降維法

習題十一

第十二章 基本解和格林函式法

12.1 δ函式和廣義函式簡介

12.2 線性偏微分方程的基本解

12.3 位勢方程邊值問題的格林函式法

12.4 熱傳導方程和波動方程的格林函式法

習題十二

附錄一 含復參變數的積分

附錄二 積分變換表
附錄三 外國人名表
參考文獻

索引

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