廣義函式

廣義函式，數學概念，是古典函式概念的推廣。關於廣義函式的研究構成了泛函分析中有著廣泛套用的一個重要分支。廣義函式被廣泛地套用於數學、物理、力學以及分析數學的其他各個分支，例如微分方程、隨機過程、流形理論等等，它還被套用到群的表示理論，特別是它有力地促進了偏微分方程近30年來的發展。

基本介紹

• 中文名：廣義函式
• 外文名：generalized function,distribution
• 解釋：是古典函式概念
• 拼音：：guang yi han shu

來歷

古典函式概念的推廣。歷史上第一個廣義函式是由物理學家 P.A.M. 狄拉克引進的，他因為陳述量子力學中某些量的關係時需要引入了“函式”δ(x)：當 x≠0時,δ(x)=0，但x=0時，δ(x)=∞。按20世紀前所形成的數學概念是無法理解這樣奇怪的函式的。然而物理學上一切點量，如點質量、點電荷、偶極子、瞬時打擊力、瞬時源等物理量用它來描述不僅方便、物理含義清楚,而且當它被當作普通函式參加運算,如對它進行微分和傅立葉變換，將它參與微分方程求解等所得到的數學結論和物理結論是吻合的。這就迫使人們要為這類怪函式確立嚴格的數學基礎。最初理解的方式之一是把這種怪函式構想成直線上某種分布所相應的“密度”函式。所以廣義函式又稱為分布，廣義函式論又叫做分布理論。用分布的觀念為這些怪函式建立基礎雖然很直觀，但對於複雜情況就又顯得繁瑣而不很明確。後來隨著泛函分析的發展，L.施瓦爾茨(1945)用泛函分析觀點為廣義函式建立了一整套嚴格的理論,接著蓋爾范德對廣義函式論又作了重要發展。

爭論

關於通常函式的爭論

18世紀與19世紀關於函式的定義可列舉如下：

1. 變數的函式是由這個變數與常量所組成的解析表達式。——J.貝努利，1718。
   
2. 函式是信手畫出的曲線。——L.歐拉，1748。
   
3. 如果某些量以這樣的方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函式。——L.歐拉，1755。
   
4. 任何一個數值依賴於一個或多個其他的量都稱為後面這些量的函式。它與知道或不知道必須以怎樣運算才能由後者找出前者無關。——C.拉卡魯。
   
5. x的函式是一個對每個x給出的且隨x而逐漸變化的數，函式值可用解析表達式給出，也可以用一個條件給出，這個條件提供檢驗全部函式的方法。函式的依賴關係可以存在但仍然是未知的。——H.u.羅巴切夫斯基，1834.
   
6. y是x的函式，如果任何x值，都對應著一個完全確定的y值。但是究竟以怎樣方式建立所說的對應，根本不重要。——P.狄利克萊，1837.
   

正是在以什麼樣方式給出x與y之間對應是不是重要這一點上,圍繞著函式定義再一次的發生了衝突,而這已經是20世紀初了。實際上,根據獲里狄利克萊定義字面的意義,為了給出函式，對於每個x都必須給出它的函式值，並且不同x的值彼此之間無任何聯繫,但是究竟以什麼方式能給出函式呢?要知道，自變數x的值是一個無窮集合,因此在這裡 應當討論彼此間無聯繫條件的無窮集合,對於它們的全體又應怎樣來描述呢?為了列舉無窮集合,給出一個唯一函式的條件, 既不是指位置,也不是指時間(正是在這種情況下出現所謂勒貝格不可測函式)。毫無疑問,由有限幾句話組成的“法則”給出的函式是有權存在的,但是不給這種法則的所謂《無法則》的函式是不是沒有意義呢?

能夠把《無法則》的函式,作為無用函式而從分析中去掉嗎?曾有一個專門的審查計畫,目的是檢查《無法則》函式在分析構造起什麼作用,研究的結果表明，《無法則》函式在分析基礎中是不能排除掉的,否則將會破壞數學分析原有的和諧格局。數學家們因此分成了兩個陣營：不要求一定法則的“狄利克萊”函式定義的支持者和要求由幾句話組成定法則的“羅巴切夫斯基”函式定義的支持者。被稱為直覺主義的第二陣營的代表拒絕了古典分析中大部分內容，創建了獨特的《直覺主義》數學。不希望放棄古典分析成就的第一陣營代表,調和了由於存在《無法則》函式而引起的許多自相矛盾的事實。直到目前，我們還可以相信，數學的進一步發展是不會沿著直覺主義的道路進行的,同時古典數學的成就總是不可動搖的。但是,直覺主義的具體結果由有限的、不多的、幾句話組成的法則所給出的函式,在現代的計算機理論與技術中都得到了意料不到的套用。

引進

廣義函式的引進

情況開始嚴重起來，出現了損害數學家與物理學家相互理解的危險。為了避免這種危險 , 因而建立了具有下列性質的函式定義：
1.古典分析中的通常函式，也是新意義下的函式；
2.函式及物理學中其他《奇異》函式也屬於這種新函式 ；
3.一切新函式都有導數,而這個導數同樣也是新意義下的函式；
4.收斂的新函式項級數可以逐項微分，並且由導數組成的級數和總等於原來級數和的導數；
第一陣營的觀點 在這裡未被用上 .在這裡蘇聯數學家C.L.索波列夫的功勞是很大的，他發現了滿足所有列出的四項要求的函式族。後來這些函式族被稱為《廣義函式》。從索波列夫引入廣義函式（1934-1936年）到現在已有50多年.在這段時期里,廣義函式得到了廣泛發展,並且在數學分析與其他數學分支以及物理的許多問題中,已經變成了必備的知識。

廣義函式又稱為分布，廣義函式論又叫做分布理論。用分布的觀念為這些怪函式建立基礎雖然很直觀，但對於複雜情況就又顯得繁瑣而不很明確。後來隨著泛函分析的發展，L.施瓦爾茨(1945)用泛函分析觀點為廣義函式建立了一整套嚴格的理論,接著蓋爾范德對廣義函式論又作了重要發展。

重要影響

J.（S.）阿達馬(1932)在研究波動方程基本解時使用了發散積分的有限部分。С.Л.索伯列夫(1936)在研究雙曲型方程的柯西問題時用分部積分引入了廣義導數和微分方程廣義解的概念,並把函式δ及其導數δ□等視為某個函式空間上的線性泛函；他對廣義函式論的建立邁出了決定性的一步。S.博赫納(1932)和T.卡萊曼(1944)討論了冪增長函式的傅立葉變換，提出了連續函式的形式導數概念。

當然為那些怪函式建立嚴格數學基礎的方法並不是惟一的，例如波蘭學者J.米庫辛斯基就曾用較初等的方法建立它們的基礎。也有把廣義函式看作解析函式的邊界值，並由此發展出超函式理論。換句話說，廣義函式的定義並不完全統一，而是具有一定程度的靈活性，可以根據問題的需要適當地定出相應的廣義函式類。

泛函分析觀念下的廣義函式理論的核心是把廣義函式看成某個函式空間上的連續線性泛函，即先選取某些性質很好的函式組成的線性空間，再在其中給出適當的收斂概念，這樣的函式空間就稱為基本函式空間，又稱為測試函式空間，而其中每個函式稱為基本函式或測試函式。相應於基個基本空間上的連續線性泛函就稱為該基本空間上的廣義函式。廣義函式全體就稱為相應於基本空間的廣義函式空間。

三大分類

在廣義函式理論中介紹了三個基本空間，D，ε 和S,其相應的廣義函式空間為：D'，ε '，S'。它們在廣義函式理論中起著十分重要的作用。

1.基本空間 ， 及其廣義函式

空間 ，是定義在n維歐氏空間中的無窮次可微函式全體的集合，稱為無窮次可微函式空間。具有緊支集的 中的函式的全體所構成之集合記做 ，它是一個線性空間。

廣義函式是基本空間上的線性連續泛函，稱 上的連續泛函為ε ' ；稱 上的連續線性泛函為 廣義函式，它們都是線性空間。

(1)任一局部可積函式都是D'廣義函式；

(2)δ函式為D'，ε '廣義函式；

(3)任一ε '(Ω)廣義函式T，其支集都是緊的。反之，任一D'(Ω)廣義函式T，若其支集為緊的，必為ε '(Ω)；

(4)若T為ε ' 廣義函式，S為 廣義函式，則卷積S*D為 廣義函式；若S為ε ' 廣義函式，T為 廣義函式，則卷積S*D屬於 ；

2.速降函式和緩增廣義函式

如果定義在 上的函式f滿足條件：f∈ε 且對於任意的重指標（這裡指非負整數重指標）有 與f(x)的偏b次方導數的乘積的上確界有界時，稱f為速降函式。

S 上的線性連續泛函全體構成一個廣義函式空間，稱為緩增廣義函式空間，記為S‘’ 。

導數

設f(x)是一個可微函式，φ(x)∈，φ(±)=0，則由分部積分，對函式所確定的可積函式廣義函式有：

於是，就由上式作為廣義函式的導數。

由定義可見，由於φ(x)是無窮次可微，故廣義函式是無窮次可微的。