積分變換

積分變換的定義

通過參變數積分將一個已知函式變為另一個函式。已知ƒ(x)，如果

存在（其中，α、b可為無窮），則稱F(s)為ƒ(x)以K(s,x)為核的積分變換。

典型積分變換

積分變換無論在數學理論或其套用中都是一種非常有用的工具。最重要的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換，此外還有梅林變換和漢克爾變換，它們都可通過傅立葉變換或拉普拉斯變換轉化而來。傅立葉變換和拉普拉斯變換的詳細介紹參考相關詞條，這裡就不再贅述。

梅林變換

當K(s,x)=xs_1，x>0，而ƒ(x)定義於[0，+∞)，函式（式(1)）：

稱為ƒ(x)的梅林變換，式中s=σ+iτ為複數。M(s)的梅林反變換則定義為（式(2)）：

這裡積分是沿直線Res=σ進行的。

(1)式與(2)式在一定條件下互為反演公式。例如，設(1)絕對收斂，在任何有限區間上ƒ(x)是有界變差的，且已規範，則由(1)可推得(2)，在l2(0,∞)空間中也有類似結果。

若以M(s,ƒ′)表示ƒ′(x)的梅林變換，則在一定條件下，有：

在一定條件下,還有下列梅林交換的卷積公式：

式中с>Res。

一些簡單函式的梅林變換如下圖所示：

漢克爾變換

設Jγ(x)為у階貝塞爾函式（見特殊函式），ƒ(x)定義於[0，+∞)，則稱（式(3)）：

為ƒ(x)的у階漢克爾變換；而稱（式(4)）：

為h(t)的漢克爾反變換。有的作者代替(3)與(4)改用與

效果是一樣的。在一定條件下，(3)與(4)成為一對互逆公式，此外，還有：

一些簡單函式的漢克爾變換如下圖所示：

積分的分類

（1）定積分：設閉區間[a,b]上有n-1個點，依次為a=x0<x1<x2…<xn-1<xn=b，它們把[a,b]分成n個小區間△i=[xi-1,xi],i=1,2,…，n.這些分點或這些閉子區間構成對[a,b]的分割，記為T={x0，x2，…，xn}或{△1，△2,…△n}，小區間△i的長度為△xi=△xi-△xi-1，並記‖T‖=MAX{△Xi}，稱為分割T的模。

（2）不定積分；

（3）反常積分；

（4）重積分；

（5）曲線積分；

（6）曲面積分。