基本介紹
- 中文名：泛函
- 外文名：functional
- 性質：函式的函式
- 內容：從函式空間到數域的映射
- 常見泛函：線性泛函和二次型泛函
- 學科：數學
產生,定義,常見泛函,特點,內容,套用,
產生
十九世紀以來，數學的發展進入了一個新的階段。這就是，由於對歐幾里得第五公設的研究，引出了非歐幾何這門新的學科；對於代數方程求解的一般思考，最後建立並發展了群論；對數學分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準備了條件。
二十世紀初，瑞典數學家弗列特荷姆和法國數學家阿達瑪發表的著作中，出現了把分析學一般化的萌芽。隨後，希爾伯特和海令哲開創了“希爾伯特空間”的研究。到了二十年代，在數學界已經逐漸形成了一般分析學，也就是泛函分析的基本概念。
由於分析學中許多新部門的形成，揭示出分析、代數、幾何的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數方程求根和微分方程求解都可以套用逐次逼近法，並且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現得就更為突出了。泛函分析的產生正是和這種情況有關，有些乍看起來很不相干的東西，都存在著類似的地方。因此它啟發人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬於本質的東西。
非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認知，n維空間幾何的產生允許我們把多變函式用幾何學的語言解釋成多維空間的影響。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最後把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。
這時候，函式概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函式概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關係。現代數學的發展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關係。這裡我們先介紹一下運算元的概念。運算元也叫算符，在數學上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做運算元。研究無限維線性空間上的泛函式和運算元理論，就產生了一門新的分析數學，叫做泛函分析。在二十世紀三十年代，泛函分析就已經成為數學中一門獨立的學科了。
定義
設{y}是給定的函式集，如果對於這個函式集中任一函式y(x) 恆有某個確定的數與之對應，記為П(y(x))，則П(y(x))是定義於集合{y(x)}上的一個泛函。
泛函П(y(x))與可取函式y(x)有明確的對應關係。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質決定的。
泛函也是一種“函式”，它的獨立變數一般不是通常函式的“自變數”，而是通常函式本身。泛函是函式的函式。由於函式的值是由自變數的選取而確定的，而泛函的值是由自變數函式確定的，故也可以將其理解為函式的函式
簡言之，泛函就是函式的函式。
常見泛函
如果連續泛函滿足下列條件：
其中C為任意常數，就稱之為線性泛函。
如果連續泛函滿足下列條件：
且
就稱之為二次性泛函。
特點
泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函式可以看作是“函式空間”的點或矢量，這樣最後得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函式空間。
泛函分析對於研究現代物理學是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學系統的運動，實際上需要有新的數學工具來描述具有無窮多自由度的力學系統。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學系統的例子。一般來說，從質點力學過渡到連續介質力學，就要由有窮自由度系統過渡到無窮自由度系統。現代物理學中的量子場理論就屬於無窮自由度系統。
正如研究有窮自由度系統要求 n維空間的幾何學和微積分學作為工具一樣，研究無窮自由度的系統需要無窮維空間的幾何學和分析學，這正是泛函分析的基本內容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學和微積分學。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學科中。
泛函分析是分析數學中最“年輕”的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函式論、幾何和代數的觀點研究無窮維向量空間上的函式、運算元、和極限理論。他在二十世紀四十到五十年代就已經成為一門理論完備、內容豐富的數學學科了。
內容
半個多世紀來，泛函分析一方面以其他眾多學科所提供的素材來提取自己研究的對象，和某些研究手段，並形成了自己的許多重要分支，例如運算元譜理論、巴拿赫代數、拓撲線性空間理論、廣義函式論等等；另一方面，它也強有力地推動著其他不少分析學科的發展。它在微分方程、機率論、函式論、連續介質力學、量子物理、計算數學、控制論、最最佳化理論等學科中都有重要的套用，還是建立群上調和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術性的學科之中，已成為近代分析的基礎之一。
套用
泛函分析是研究無限維抽象空間及其分析的學科。它是現代數學中發生根本性轉折的最明顯的表現。這種轉折，堪與世紀把變數引入數學而導致微積分的產生相比擬。它概括了經典數學分析的重要概念和方法，又滲入量子物理學、現代工程技術和現代力學的營養。它綜合運用分析的、代數的、幾何的方法，研究分析數學、現代物理和現代工程技術中的許多問題。它的特點是探求一般性和統一性，這也是世紀數學的特徵之一。它不是孤立的考察各個函式以及聯繫它們的關係和方程，而是把這些對象作為一個總體來研究，即研究函式空間和它們的變換，而古典分析是研究實數集合或複數集合上的函式的性質。泛函分析具有高度抽象的方法，即能把初看起來相距甚遠的問題十分巧妙的統一起來進行研究。
