平方數

平方數（或稱完全平方數），是指可以寫成某個整數的平方的數，即其平方根為整數的數。例如，9 = 3 × 3，9是一個平方數。

基本介紹

• 中文名：平方數
• 外文名：square numbers
• 別稱：完全平方數、正方形數
• 定義：可以寫成某個整數的平方的數
• 套用學科：數學
• 所屬領域：數學

定義

平方數也稱正方形數，若n為平方數，將n個點排成矩形，可以排成一個正方形。

若將平方數概念擴展到有理數，則兩個平方數的比仍然是平方數，例如，。

若一個整數沒有除了 1 之外的平方數為其因子，則稱其為無平方數因數的數。

舉例

最小的50個完全平方數為（OEIS中的數列A000290）：

圖1：構成平方數的星形六角數

1² = 1， 2² = 4 ，3² = 9， 4² = 16， 5² = 25， 6² = 36 ，7² = 49 ，8² = 64 ，9² = 81 ，10² = 100，

11² = 121， 12² = 144 ，13² = 169 ，14² = 196 ，15² = 225， 16² = 256， 17² = 289 ，18² = 324， 19² = 361 ，20² = 400，

21² = 441 ，22² = 484， 23² = 529 ，24² = 576， 25² = 625 ，26² = 676， 27² = 729 ，28² = 784 ，29² = 841， 30² = 900，

31² = 961， 32² = 1024， 33² = 1089 ，34² = 1156 ，35² = 1225， 36² = 1296 ，37² = 1369 ，38² = 1444， 39² = 1521 ，40² = 1600，

41² = 1681， 42² = 1764 ，43² = 1849， 44² = 1936， 45² = 2025 ，46² = 2116 ，47² = 2209 ，

48² = 2304 ，49² = 2401， 50² = 2500。

性質

• 一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。
• 四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的，三個平方數之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的數。若一個正整數可以表示因子中沒有形如 4k + 3 的素數的奇次方，則它可以表示成兩個平方數之和。
• 平方數必定不是完全數。
• 奇數的平方除以4餘1，偶數的平方則能被4整除。
• a²-b²=(a+b)(a-b)。
• 一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。
• 四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的，三個平方數之和不能表示形如 4(8m+ 7) 的數。若一個正整數可以表示因數中沒有形如 4k+3 的素數的奇次方，則它可以表示成兩個平方數之和。
• 在十進制中，平方數只能以 00，1，4，6，9 或 25 結尾：

1. 若一個數以 0 結尾，它的平方數以 00 結尾，且其他數字也構成一個平方數；
2. 若一個數以 1 或 9 結尾，它的平方數以 1 結尾，且其他數字構成的數能被 4 整除；
3. 若一個數以 2 或 8 結尾，它的平方數以 4 結尾，且其他數字構成一個偶數；
4. 若一個數以 3 或 7 結尾，它的平方數以 9 結尾，且其他數字構成的數能被 4 整除；
5. 若一個數以 4 或 6 結尾，它的平方數以 6 結尾，且其他數字構成一個奇數；
6. 若一個數以 5 結尾，它的平方數以 25 結尾，且前面的一位或兩位數字數字必定為 0，2，06，56 之一，25前面的數是普洛尼克數。

• 每4個連續的自然數相乘加 1，必定會等於一個平方數，即a(a+ 1)(a+ 2)(a+ 3) + 1 = (a+ 3a+ 1)。
• 平方數必定不是完全數。
• 平方數必定是3的倍數或者3的倍數+1。
• 平方數必定是4的倍數或者4的倍數+1。
• 是否在相繼正方形數之間存在一個素數這一命題，對9000000以內的數目是正確的。
• 除了000以外，平方數末3位數若相同，必為444：如38=1444，462=213444。
• 除了0000以外，平方數末4位數不可能相同。

表達式

方陣

著名數學家畢達哥拉斯發現有趣奇數現象：將連續奇數相加，每次的得數正好就產生完全平方數。 如：1 + 3(=2²) + 5(=3²) + 7(=4²) + 9(=5²) + 11(=6²) + 13(=7²)……在奇數和平方數之間有著密切的重要聯繫。一個整數是完全平方數若且唯若相同數目的點能夠在平面上排成一個正方形的點陣，使得每行每列的點都一樣多。

圖2：平方數

通項公式

對於一個整數 n，它的平方寫成 n²。n²等於頭 n個正奇數的和。在上圖中，從1開始，第 n個平方數表示為前一個平方數加上第 n個正奇數，如 5² = 25 = 16 + 9。即第五個平方數25等於第四個平方數16加上第五個正奇數：9。

遞推公式

每個完全平方數可以從之前的兩個平方數計算得到，遞推公式為 n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

連續整數的和

完全平方數還可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列，即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的完全平方數非常有用。例如： 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704。