兩平方數之和

兩平方數之和(sum of two squares)與華林問題有關的一個數論問題。若對自然數n，存在整數x,y，使n=x²+y²，則稱n可表示為兩平方數之和。若在此基礎上，有gcd(x,y)=1，則稱n可本原地表示為兩平方數之和。對於n，若存在且僅存在一個自然數x，使x²≤n/2且√(n-x²)是整數，則稱n可唯一地表示為兩平方數之和。

相關結論

關於兩平方數之和定理有以下結論:

1.若n≡3(mod 4)，則n不能表示為兩平方數之和。

2.若n可表示為兩平方數之和，則對任一整數k，k²n亦可表示為兩平方數之和。

3.n不能表示為兩平方數之和的充分必要條件是n的標準分解式中至少有一個素因數與3同餘(mod 4)且它的次數為奇數。

4.若p,q均可表示為兩平方數之和，則其乘積pq亦可表示為兩平方數之和。

5.任意素數x，若滿足x≡1(mod 4)，則可唯一地表示為兩平方數之和。

6.若n能表示為兩平方數之和，則n²+1的每一個因數都能表示為兩個平方數的和。

7.設p是m的一個奇素因數，p能表示為兩平方數之和，若m能本原地表示成兩平方數之和，則m/p也能本原地表示為兩個平方數的和。

研究歷史

把一個自然數表示為兩平方數之和是數論中的一個古老問題。遠在公元3世紀末期，丟番圖(Dio-phantus)通過研究畢達哥拉斯三元數組後，已經知道如何把某些自然數表為二平方數之和，也知道形如4m+3的自然數不能表成二平方數之和。丟番圖將這些研究寫人了他早已失傳的《衍論》中，這些內容可從後人對該書的評註中見到.丟番圖的研究停留在算術階段，缺乏數論的特色。1640年12月25日，費馬(Fermat,P. de)給梅森(Mersenne, M.)的信中最先提出了形如4n+1的素數可以表成兩個平方數的和。1754年，歐拉(Eider, L.)首次證明了它，還證明了表達式的惟一性。