正方形數

正方形數 又叫平方數、四邊形數，是指可以寫成某個整數的平方的數，即其平方根為整數的數。例如，9 = 3 × 3，9是一個平方數。

基本介紹

• 中文名：正方形數
• 性質：概念
• 別稱：平方數、四邊形數
• 釋義：可以寫成某個整數的平方的數

定義

正方形中有幾個正方形排列的小點或者圓或者正方形等物體，物體總數就是正方形數。

數學上，平方數，或稱完全平方數，是指可以寫成某個整數的平方的數，即其平方根為整數的數。例如，9 = 3 × 3，它是一個平方數。

平方數也稱正方形數，若 n 為平方數，將 n 個點排成矩形，可以排成一個正方形。

若將平方數概念擴展到有理數，則兩個平方數的比仍然是平方數，例如，。

若一個整數沒有除了 1 之外的平方數為其因子，則稱其為無平方數因數的數。

0也是平方數。

性質

1. 一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。

正方形數與三角形數的關係

2.四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的，三個平方數之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的數。若一個正整數可以表示因子中沒有形如 4k + 3 的素數的奇次方，則它可以表示成兩個平方數之和。

3.平方數必定不是完全數。

4. 奇數的平方除以4餘1，偶數的平方則能被4整除。

5.a²-b²=(a+b)(a-b）

表達式

方陣

著名數學家畢達哥拉斯發現有趣奇數現象：將連續奇數相加，每次的得數正好就產生完全平方數。 如：1 + 3(=2²) + 5(=3²) + 7(=4²) + 9(=5²) + 11(=6²) + 13(=7²)……在奇數和平方數之間有著密切的重要聯繫。一個整數是完全平方數若且唯若相同數目的點能夠在平面上排成一個正方

形的點陣，使得每行每列的點都一樣多。

還可以得出式子：1+3+5+7+……+（2n+1）=(n+1)²

通項公式

對於一個整數n，它的平方寫成n²。n²等於頭n個正奇數的和（）。在上圖中，從1開始，第n個平方數表示為前一個平方數加上第n個正奇數，如 5²= 25 = 16 + 9。即第五個平方數25等於第四個平方數16加上第五個正奇數：9。

遞推公式

每個平方數可以從之前的兩個平方數計算得到，遞推公式為 n²= 2(n − 1)²− (n − 2)²+ 2。例如，2×5²− 4²+ 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

連續整數的和

平方數還可以表示成n²= 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4²= 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列，即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的平方數非常有用。例如： 52²= 50²+ 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.