迴文數

“回文”是指正讀反讀都能讀通的句子，它是古今中外都有的一種修辭方式和文字遊戲，如“我為人人，人人為我”等。在數學中也有這樣一類數字有這樣的特徵，成為迴文數（palindrome number）。

設n是一任意自然數。若將n的各位數字反向排列所得自然數n1與n相等，則稱n為一迴文數。例如，若n=1234321，則稱n為一迴文數；但若n=1234567，則n不是迴文數。

注意：

1.偶數個的數字也有迴文數124421

2.小數沒有迴文數

基本介紹

• 中文名：迴文數
• 外文名：palindrome number
• 定義：正讀倒讀都一樣的整數

基本情況

1千以內的迴文數

在自然數中，最小的迴文數是0，其次是1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.

平方回數

定義：一個迴文數，它同時還是某一個數的平方，這樣的數字叫做平方回數。例如：121。

100以上至1000以內的平方回數只有3個，分別是：121、484、676。

其中，121是11的平方。

484是22的平方，同時還是121的4倍。

676是26的平方，同時還是169的4倍。

舉例說明

任意某一個數通過以下方式相加也可得到

如：29+92=121 還有 194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992

不過很多數還沒有發現此類特徵（比如196,下面會講到）

另外個別平方數是迴文數

1的平方=1

11的平方=121

111的平方=12321

1111的平方=1234321

……

……

依次類推

3×51=153

6×21=126

4307×62=267034

9×7×533=33579

上面這些算式,等號左邊是兩個(或三個)因數相乘,右邊是它們的乘積。如果把每個算式中的“×”和“=”去掉，那么，它們都變成迴文數，所以，我們不妨把這些算式叫做“回文算式”。還有一些回文算式，等號兩邊各有兩個因數。請看：

12×42=24×21

34×86=68×43

102×402=204×201

1012×4202=2024×2101

不知你是否注意到，如果分別把上面的回文算式等號兩邊的因數交換位置，得到的仍是一個回文算式，比如：分別把“12×42=24×21”等號兩邊的因數交換位置，得到算式是：

42×12=21×24

這仍是一個回文算式。

還有更奇妙的回文算式，請看：

12×231=132×21（積是2772）

12×4032=2304×21（積是48384）

這種回文算式，連乘積都是迴文數。

四位的迴文數有一個特點，就是它決不會是一個質數。設它為abba，那它等於a*1000+b*100+b*10+a，1001a+110b。能被11整除。

六位的也一樣，也能被11整除

還有，人們藉助電子計算機發現，在完全平方數、完全立方數中的迴文數，其比例要比一般自然數中迴文數所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331，11^4=14641……都是迴文數。

研究現狀

人們迄今未能找到自然數(除0和1)的五次方，以及更高次冪的迴文數。於是數學家們猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然數)形式的迴文數。

在電子計算器的實踐中，還發現了一樁趣事：任何一個自然數與它的倒序數相加，所得的和再與和的倒序數相加，……如此反覆進行下去，經過有限次步驟後，最後必定能得到一個迴文數。

這也僅僅是個猜想，因為有些數並不“馴服”。比如說196這個數，按照上述變換規則重複了數十萬次，仍未得到迴文數。但是人們既不能肯定運算下去永遠得不到迴文數，也不知道需要再運算多少步才能最終得到迴文數。

迴文數算法

隨意找一個十進制的數，把它倒過來成另一個數，再把這兩個數相加，得一個和數，這是第一步;然後把這個和數倒過來，與原來的和數相加，又得到一個新的和數，這是第二步。照此方法，一步步接續往下算，直到出現一個“迴文數”為n。例如:28+82=110,110+011=121，兩步就得出了一個“迴文數”。如果接著算下去，還會得到更多的“迴文數”。這個過程稱為“196算法”。

對迴文數的探索過程

上而提到的196這個數，是第一個可能的“利克瑞爾數”，因而它受到了最多的關注。由於目前還不可能證明一個數永遠不能形成“迴文數”，所以“196和其他那些(看起來)不能形成迴文數的數是利克瑞爾數”這一命題僅是猜想而非已獲證明。能證明的僅是那些反例，即如果一個數最終能形成“迴文數”，則它不是“利克瑞爾數”。

在電子計算機尚未問世的1938年，美國數學家萊默(D. Lehmer,1905-1991)計算到了第73步，得到了一個沒有形成“迴文數”的35位的和數。至今挑戰此題的數學愛好者從沒有間斷過，並隨著計算機科技的發展，不斷有發燒友編寫不同的程式對此題發起挑戰。據筆者最新調查，領軍人W.V.Landingham到2006年2月已經計算到了699萬步，得到了一個2.89億位以上的和數，之間的結果仍未出現“迴文數”。

另外介紹一個關於達到“迴文數”需要計算步數的世界記錄。它是一個19位數字1,186,060,307,891,929,990,算出“迴文數，，需要了261步。它是由Jason Doucette的算法及程式於2005年11月30日發現的。下表列舉的是各位數字中，到達“迴文數”花費步數最多的代表性數字。

編程實現

JAVA源程式

publicclassPlalindrome{publicstaticvoidmain(String[]args){System.out.println("11is"+(isPlalindrome(11)?"":"not")+"Plalindromenumber");System.out.println("123is"+(isPlalindrome(123)?"":"not")+"Plalindromenumber");System.out.println("17251is"+(isPlalindrome(17251)?"":"not")+"Plalindromenumber");System.out.println("2882is"+(isPlalindrome(2882)?"":"not")+"Plalindromenumber");}publicstaticbooleanisPlalindrome(intnumber){//此方法實現判斷數字是不是迴文數Stringnum=String.valueOf(number);returnnewStringBuffer(num).reverse().toString().equalsIgnoreCase(num);}}

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11 is Plalindrome number

123 is not Plalindrome number

17251 is not Plalindrome number

2882 is Plalindrome number

用visual basic6.0

for i = 100 to 99999 '這裡從100開始 後面可以隨便填，我這裡填99999 表示所有3位數到五位數之間的迴文數

if StrReverse(i)=i then print i '用StrReverse函式 判斷倒序後的數和原來數是否相同，如果相同者表示此數為迴文數

next

用C語言編程

#include<stdio.h>intx,y;separate(int*data,intn){    inti,j;    y=0;    while(n!=0)    {           *(data+y)=n%10;n=n/10;y++;    }    *(data+y)='\0';    for(i=0,j=y-1;i<=j;i++,j--)    {        if(*(data+i)!=*(data+j)){        printf("%d不是回文!!!\n",x);break;        }    }    if(i ==y-1) printf("是迴文數");}voidmain(){inta[99];printf("請輸入一個正整數：");scanf("%d",&x);separate(a,x);}

另外一種實現方法（c++）更簡便

#include<iostream>

using namespace std;

bool symm(long m)

{

long temp = m,n=0;

while (temp)

{

n = n*10+temp%10;

temp = temp/10;

}

return (m == n);

}

int main(int argc, _TCHAR* argv[])

{

long m;

cout<<"請輸入一個整數：";

cin>>m;

cout<<"輸入了"<<symm(m)<<"個迴文數！";

return 0;

}

python源程式

#coding:--utf-8--　#-*-coding:cp936-*-classHws:　def__init__(self):　self.result=[]　defhWs(self):　forainrange(1,10000):　b=str(a)　foriinrange(0,len(b)/2+1):　ifb[i]==b[len(b)-i-1]:　self.result.append(a)　printself.result　hws=Hws()　hws.hWs()

求最長迴文數長度的manacher算法（O(n)）

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<string>#include<queue>#include<algorithm>#include<map>#include<iomanip>#defineINF99999999usingnamespacestd;constintMAX=110000+10;chars[MAX*2];intp[MAX*2];intmain(){    while(scanf("%s",s)!=EOF){        intlen=strlen(s),id=0,maxlen=0;        for(inti=len;i>=0;--i){//插入'#'            s[i+i+2]=s[i];            s[i+i+1]='#';        }//插入了len+1個'#',最終的s長度是1~len+len+1即2*len+1,首尾s[0]和s[2*len+2]要插入不同的字元        s[0]='*';//s[0]='*',s[len+len+2]='\0',防止在while時p[i]越界        for(inti=2;i<2*len+1;++i){            if(p[id]+id>i)p[i]=min(p[2*id-i],p[id]+id-i);            elsep[i]=1;            while(s[i-p[i]]==s[i+p[i]])++p[i];            if(id+p[id]<i+p[i])id=i;            if(maxlen<p[i])maxlen=p[i];        }        cout<<maxlen-1<<endl;    }    return0;}