基本介紹
- 中文名：射影定律
- 外文名：Projective law
- 別稱：歐幾里得定理
- 表達式：CD2=AD·BD
- 提出者：歐幾里得
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：初等幾何
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定理介紹
簡介
設直角三角形ABC，AB是斜邊，CD是高，則AC的平方=AD×AB
CB的平方=BD×BACD的平方=AD×DB等積式；
射影定律簡圖(幾何畫板)
射影定律簡圖(幾何畫板)AD×AC=AB×AC
推出；AC/AB=AD/AC（比例式）
如圖，∠ABC=90°，CD⊥AB，則AC^2=AD×AB，BC^2=BD×AB，CD^2=AD×BD。以上比例式合稱射影定理。主要用於解決直角三角形斜邊及定點與斜邊的連線的問題，比如說給出AD和BD的長度求AC:BC。
直角三角形射影定理
公式: 如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：
（1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA 。
等積式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面積法”來證明）
直角三角形射影定理的證明
射影定理簡圖(幾何畫板)：
（主要是從三角形的相似比推算來的）
證法一
在△BAD與△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。其餘同理可得可證
有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA
兩式相加得：AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .
即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理結論）。
證法二
已知:三角形中角A=90度，AD是高.
用勾股證射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，
∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.
故AD^2=BD×CD.
運用此結論可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC， AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識進行證明。
任意三角形射影定理
內容
任意三角形射影定理又稱“第一餘弦定理”：
△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有
a=b·cosC+c·cosB，
b=c·cosA+a·cosC，
c=a·cosB+b·cosA。
註：以“a=b·cosC+c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
證明
證明1：設點A在直線BC上的射影為點D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可證其餘。
證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其它的。
面積射影定理
定理內容
COSθ=S射影/S原
證明思路
因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的平方比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。那么這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，並使斜邊和一直角邊垂直於棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），那么三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比，而將這個比值放到該平面三角形中去運算即可。
