從模n的每個剩餘類中各取一個數，得到一個由n個數組成的集合，叫做模n的一個完全剩餘系。完全剩餘系常用於數論中存在性證明。
基本介紹
- 中文名：完全剩餘系
- 外文名：complete system of residues
- 適用範圍：數理科學
- 類型：定義概念
定義,同餘式,舉例,性質,性質一,性質二,性質三,
定義
在模n的剩餘類中各取一個元素，則這n個數就構成了模n的一個完全剩餘系。
同餘式
[congruence]
命 n 為一個自然數，a，b為整數。如果
為 n 的整數倍，則稱 a，b 關於 n 同餘，用同餘式
(mod n) 記之。否則稱a，b關於 n 不同餘，記為
（mod n）。我們稱 n 為同餘式的模（modulus）。同餘式滿足：
反射性（reflection），即
（mod n）；
因此，可以利用同餘關係將整數分類，凡同餘的數屬於一個類，於是異類中的數皆不同餘。共得到整數的 n 個類。在每一個類中各取一個數作為代表所成的集合稱為模 n 的一個完全剩餘系。
舉例
取最小非負剩餘為代表，則得完全剩餘系
。剩餘類的代表相加得一數屬於另一類，這個類僅與相加兩數所在的類有關，而與代表的選取無關。於是，可以定義剩餘類間的加法，以 0 所在的類 O 為單位元，則剩餘類的全體關於加法構成一個交換群。當然在剩餘類之間可以定義乘法。但關於除法就不一定可能，例如 3·2
1·2（mod 4），2 2（mod 4），但
（mod 4）。
一個數除以4的餘數只能是0，1，2，3，{0，1，2，3}和{4，5，-2，11}是模4的完全剩餘系。可以看出0和4，1和5，2和-2，3和11模4同餘，這4組數分別屬於4個剩餘類。
性質
完全剩餘系常用性質：
性質一
對於n個整數，其構成模n的完系等價於其關於模n兩兩不同餘；
性質二
若ai(1≦i≦n)構成模n的完系，k、m∊Z，(m,n)=1，則
也構成模n的完系；
性質三
若ai(1≦i≦n)構成模n的完系，則
。
