《數論、群論、有限域》是2013年清華大學出版社出版的圖書，作者是周煒。
基本介紹
- 書名：數論、群論、有限域
- 作者：周煒
- ISBN：9787302344551
- 定價：45元
- 出版社：清華大學出版社
- 出版時間：2013-12-11
- 裝幀：平裝
- 版次：1-1
圖書簡介,目錄,
圖書簡介
本書包含了作者多年來的教學經驗和研究成果，許多結果是首次公開發表。全書內容豐富，體系完整，論證嚴謹，行文流暢，深入淺出，特色鮮明。本書可以作為密碼學、數學、信息對抗、計算機科學與技術及相關專業研究生和本科生的教材，也可作為其他各專業、各層次的師生和工程技術人員的參考書或自學用書。本書系統地研究了基礎數論、群論和有限域理論。全書分為11章： 集合與函式，整除性理論，數論函式，不定方程，同餘式，二次剩餘，原根和離散對數，群論，環、域與多項式，有限域，有限域上的線性遞歸序列。
目錄
第1章集合與函式1
1.1集合論基礎1
1.2函式、置換的循環分解3
1.2.1函式的基本概念和一般性質3
1.2.2置換的循環分解5
1.3對合映射不動點定理8
1.4等價關係9
1.5容斥原理、鴿巢原理和多項式定理11
1.6習題13
第2章整除性理論16
2.1整數的整除性16
2.2最大公約數和最低公倍數17
2.3連分數21
2.3.1實數的連分數表示21
2.3.2實數的近似分數22
2.3.3近似分數的既約性24
2.3.4近似分數的誤差估計24
2.3.5整數線性組合ax-by=1的生成25
2.4素數、二平方定理、算術基本定理26
2.5習題32
第3章數論函式35
3.1[x]與{x}35
3.2積性函式40
3.3因子數τ(n)與因子和S(n)41
3.4Euler函式(n)42
3.5Mbius函式和Mbius反演定理43
3.5.1Mbius函式及其性質43
3.5.2Mbius反演定理44
3.6習題44
第4章不定方程46
4.1二元一次不定方程46
4.2三元一次不定方程48
4.3勾股數定理49
4.4二元二次不定方程x2+2y2=z250
4.5二元二次不定方程 x2-Dy2=n51
4.5.1一般性質51
4.5.2Pell方程54
4.5.3二元二次不定方程x2-Dy2=n求解58
4.6習題64
第5章同餘式65
5.1同餘式的定義與性質65
5.2完全剩餘系和縮剩餘系67
5.3一元一次同餘方程72
5.4一元一次同餘方程組、中國剩餘定理74
5.5一元多項式同餘方程75
5.6習題78
第6章二次剩餘81
6.1二次剩餘的基本定理81
6.2Legendre符號85
6.3Jacobi符號89
6.4習題92
第7章原根和離散對數93
7.1整數a關於模m的乘法階93
7.2原根的概念和基本性質96
7.3原根的基本定理98
7.4離散對數103
7.5公鑰密碼104
7.5.1RSA公鑰密碼算法104
7.5.2Rabin二次剩餘方案105
7.5.3ELGamal算法106
7.6習題107
第8章群論108
8.1半群、商半群、半群同態108
8.1.1半群的基本概念108
8.1.2亞群中元素的階111
8.1.3半群上的同餘關係、商半群113
8.1.4半群同態114
8.2群的基本概念115
8.3子群、正規子群、商群117
8.4群的同態和同構121
8.5循環群和Abel群124
8.6Burnside引理和Plya定理127
8.6.1Burnside引理127
8.6.2Plya定理130
8.7Sylow定理135
8.8習題142
第9章環、域與多項式145
9.1環與整環145
9.2交換整環上的Mbius反演定理148
9.3域的基本概念149
9.4域的同構150
9.5素環、域的特徵151
9.6線性空間和線性變換152
9.7子域156
9.8域上的多項式環157
9.8.1多項式和多項式函式157
9.8.2Euclid除法和多項式同餘163
9.8.3最大公因子166
9.9代數基本定理、形式導數169
9.10既約多項式171
9.11域的擴張173
9.12多項式環的分式域176
9.13習題179
第10章有限域182
10.1有限域的概念、本原元182
10.2有限域的子域189
10.3有限域上變換的多項式函式表示190
10.4有限域中元素關於子域的最小多項式191
10.4.1非零元素的次數和共軛元191
10.4.2元素關於子域的最小多項式192
10.5有限域上的既約多項式196
10.6有限域的存在性和唯一性200
10.7有限域中元素的跡和范201
10.8有限域上的線性變換204
10.9有限域關於子域的基207
10.9.1多項式基和正規基207
10.9.2對偶基210
10.9.3偽對偶基和弱對偶基217
10.10有限域上若干方程的求解223
10.11有限域上的分圓多項式224
10.12有限域上多項式的因式分解227
10.13有限域上的置換多項式237
10.14習題241
第11章有限域上的線性遞歸序列244
11.1線性遞歸序列的基本理論244
11.2有限域上線性反饋移位暫存器序列的周期性253
11.3有限域上周期序列的跡表示254
11.3.1特徵多項式為既約多項式的情形254
11.3.2特徵多項式無重因子的情形261
11.3.3一般情形264
11.4有限域上的m序列269
11.5有限域上周期序列的線性複雜度270
11.6習題284
索引287
參考文獻290
1.1集合論基礎1
1.2函式、置換的循環分解3
1.2.1函式的基本概念和一般性質3
1.2.2置換的循環分解5
1.3對合映射不動點定理8
1.4等價關係9
1.5容斥原理、鴿巢原理和多項式定理11
1.6習題13
第2章整除性理論16
2.1整數的整除性16
2.2最大公約數和最低公倍數17
2.3連分數21
2.3.1實數的連分數表示21
2.3.2實數的近似分數22
2.3.3近似分數的既約性24
2.3.4近似分數的誤差估計24
2.3.5整數線性組合ax-by=1的生成25
2.4素數、二平方定理、算術基本定理26
2.5習題32
第3章數論函式35
3.1[x]與{x}35
3.2積性函式40
3.3因子數τ(n)與因子和S(n)41
3.4Euler函式(n)42
3.5Mbius函式和Mbius反演定理43
3.5.1Mbius函式及其性質43
3.5.2Mbius反演定理44
3.6習題44
第4章不定方程46
4.1二元一次不定方程46
4.2三元一次不定方程48
4.3勾股數定理49
4.4二元二次不定方程x2+2y2=z250
4.5二元二次不定方程 x2-Dy2=n51
4.5.1一般性質51
4.5.2Pell方程54
4.5.3二元二次不定方程x2-Dy2=n求解58
4.6習題64
第5章同餘式65
5.1同餘式的定義與性質65
5.2完全剩餘系和縮剩餘系67
5.3一元一次同餘方程72
5.4一元一次同餘方程組、中國剩餘定理74
5.5一元多項式同餘方程75
5.6習題78
第6章二次剩餘81
6.1二次剩餘的基本定理81
6.2Legendre符號85
6.3Jacobi符號89
6.4習題92
第7章原根和離散對數93
7.1整數a關於模m的乘法階93
7.2原根的概念和基本性質96
7.3原根的基本定理98
7.4離散對數103
7.5公鑰密碼104
7.5.1RSA公鑰密碼算法104
7.5.2Rabin二次剩餘方案105
7.5.3ELGamal算法106
7.6習題107
第8章群論108
8.1半群、商半群、半群同態108
8.1.1半群的基本概念108
8.1.2亞群中元素的階111
8.1.3半群上的同餘關係、商半群113
8.1.4半群同態114
8.2群的基本概念115
8.3子群、正規子群、商群117
8.4群的同態和同構121
8.5循環群和Abel群124
8.6Burnside引理和Plya定理127
8.6.1Burnside引理127
8.6.2Plya定理130
8.7Sylow定理135
8.8習題142
第9章環、域與多項式145
9.1環與整環145
9.2交換整環上的Mbius反演定理148
9.3域的基本概念149
9.4域的同構150
9.5素環、域的特徵151
9.6線性空間和線性變換152
9.7子域156
9.8域上的多項式環157
9.8.1多項式和多項式函式157
9.8.2Euclid除法和多項式同餘163
9.8.3最大公因子166
9.9代數基本定理、形式導數169
9.10既約多項式171
9.11域的擴張173
9.12多項式環的分式域176
9.13習題179
第10章有限域182
10.1有限域的概念、本原元182
10.2有限域的子域189
10.3有限域上變換的多項式函式表示190
10.4有限域中元素關於子域的最小多項式191
10.4.1非零元素的次數和共軛元191
10.4.2元素關於子域的最小多項式192
10.5有限域上的既約多項式196
10.6有限域的存在性和唯一性200
10.7有限域中元素的跡和范201
10.8有限域上的線性變換204
10.9有限域關於子域的基207
10.9.1多項式基和正規基207
10.9.2對偶基210
10.9.3偽對偶基和弱對偶基217
10.10有限域上若干方程的求解223
10.11有限域上的分圓多項式224
10.12有限域上多項式的因式分解227
10.13有限域上的置換多項式237
10.14習題241
第11章有限域上的線性遞歸序列244
11.1線性遞歸序列的基本理論244
11.2有限域上線性反饋移位暫存器序列的周期性253
11.3有限域上周期序列的跡表示254
11.3.1特徵多項式為既約多項式的情形254
11.3.2特徵多項式無重因子的情形261
11.3.3一般情形264
11.4有限域上的m序列269
11.5有限域上周期序列的線性複雜度270
11.6習題284
索引287
參考文獻290
