均勻設計表

均勻設計表

均勻設計表是根據數論在多維數值積分的套用原理，仿照正交表構造的具有均勻性的一種規格化陣列表，用於均勻試驗設計，均勻設計表是利用同餘法則建立起來的。一般用Un(mr)表法，其中U表示均勻設計表；n表示行數(所需均勻試驗次數)；m表示每列中不同字碼的個數(可容納的因子水平數)；r表示列數 (最多能安排的因子個數)。

基本介紹

  • 中文名：均勻設計表
  • 外文名：Uniform Design Schedule
  • 所屬學科：數學
  • 所屬問題：統計學（試驗設計）
  • 相關概念：同餘法
基本概念,均勻設計表的使用,均勻設計實驗結果的回歸分析,構造均勻設計表,同餘運算,均勻設計表的構造,

基本概念

均勻設計和正交設計很相似，也是通過一套精心設計的表來進行實驗設計的。表1為 U6*(66)均勻設計表。表2為U7(76)均勻設計表。這兩個表比較常見。
表1
序號
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
表2
序號
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
7
7
7
7
7
7
7
每一個均勻設計表用一個符號
或
表示，其中U表示均勻設計，n表示要做的實驗次數，q表示每個因素的水平數，m表示該表的列數。右上角加“*”和不加“*”代表兩種不同類型的均勻設計表。通常加“*”的均勻設計表有更好的均勻性，應該優先選用。例如U6*(64)表示要做6次實驗，每個因素有六個水平，由4列組成的均勻設計表。
每個均勻設計表都附有一個使用表，它指示我們如何從設計表中選擇適當的列。
下面是一張均勻設計表和相應的使用表：
表3
列號試驗號
1
2
3
4
12
3
4
5
12
3
4
5
24
1
3
5
31
4
2
5
43
2
1
5
表4
因子數
入選列號
2
1
2
3
1
2
4
4
1
2
3
4
U5(54)的使用方法，若試驗兩個因子，則選第1和第2列；若試驗三個因子，則選第1，2，4列……
表5是
的使用表，它告訴我們，若有兩個因素，應選用1、3兩列來安排實驗；若有三個因素，應選用1、2、3三列……
表5
因子數
列 號
2
1
3
3
1
2
3
4
1
2
3
6
5
1
2
3
4
6
6
1
2
3
4
5
6
當實驗次數n給定時，通常Un表比Un*表能安排更多的因素。故當因素s較大，且超過Un*的使用範圍時可使用Un表。
均勻設計有其獨特的排布實驗點的方式，其特點表現在:
(1) 每個因素的每個水平做1次且僅做1次實驗；
(2) 任兩個因素的實驗點在平面格子點上，每行每列有且僅有一個實驗點。如表
的第1列和第3列構成的實驗點如圖1所示。
圖1圖1
圖2圖2
特點(1)和(2)反映了實驗點安排的均衡性，即對各因素以及每個因素的每個水平一視同仁。
(3) 均勻設計表中任兩列組成的實驗方案一般並不等價。例如用
的1、3和1、6列分別畫圖，得到圖1和圖2。我們看到， 圖1的點散布比較均勻，而圖2的點散布並不均勻。均勻設計表的這一特點和正交表有很大的不同，因此，每個均勻設計表必須有一個附加的使用表。
(4)當因素的水平數增加時，均勻設計的實驗次數按水平數的增加量增加，如水平數從9增加到10，實驗次數n也從9增加到10。而當正交設計水平數增加時，實驗次數按水平數的平方增加，水平數從9增加到10，實驗次數從81增加到100。由於這個特點，使均勻設計更便於安排水平數較多的實驗。

均勻設計表的使用

利用均勻設計表來安排實驗，其步驟和正交設計很相似，但也有一些不同之處。通常有如下步驟:
(1) 根據實驗的目的，選擇合適的因素和相應的水平。
(2)選擇適合該實驗的均勻設計表，然後根據該表的使用表從中選出列號，將因素分別安排到這些列上，並將這些因素的水平按所在列的指示分別對號。
例1 在阿魏酸的合成工藝考察中，為了提高產量，選取了原料配比(A)、 吡啶量(B) 和反應時間(C)三個因素，它們各取了如下七個水平:
(A) 原料配比: 1.0，1.4， 1.8， 2.2，2.6，3.0，3.4；
(B)吡啶量(cm3): 10，13，16，19，22，25, 28；
(C)反應時間(h): 0.5，1.0，1.5， 2.0，2.5，3.0， 3.5。
根據因素和水平，我們選取均勻設計表
。從它的使用表中可以查到，當因素數等於三時，將A、B、C分別放在
表的前3列。
根據實驗方案進行實驗，其收率(Y)列於表6的最後一列。其中以第7號實驗的結果為最好，其工藝條件為配比3.4，吡啶量28cm3，反應時間3. 5h。
表6 製備阿魏酸的實驗方案和結果
序號
配比(A)
吡啶量(B)
反應時間(C)
收率(Y)
1
1．0(1)
13(2)
1．5(3)
0．330
2
1．4(2)
19(4)
3．0(6)
0．336
3
1．8(3)
25(6)
1．0(2)
0．294
4
2．2(4)
10(1)
2．5(5)
0．476
5
2．6(5)
16(3)
0．5(1)
0．209
6
3．0(6)
22(5)
2．0(4)
0．451
7
3．4(7)
28(7)
3．5(7)
0．482
註：表中括弧內數字為均勻設計表中對應的水平代號，下同。

均勻設計實驗結果的回歸分析

回歸分析是數據分析的有力工具，它能揭示變數之間的相互關係，因此在均勻設計的數據分析中成為主要的手段。
例2 試用線性回歸模型來擬合表6中的實驗數據。
解：
設線性回歸方程為：
於是得到回歸方程:
此回歸方程是否成立，需用方差分析法進行假設檢驗。但檢驗過程的計算量太大，過於煩瑣，此處不予討論。

構造均勻設計表

下面介紹均勻設計表的構造，這對於正確理解和使用均勻設計有很大幫助。

同餘運算

均勻設計表是利用同餘運算生成的，因此先介紹同餘運算。設a、b均為自然數，其中b=1、2、3、4、..n，n稱為b的模。b與a的同餘運算定義如下:

均勻設計表的構造

每一個均勻設計表都是一個n行m列的矩陣，每一列都是1、2、..n這n個自然數的重新排列。表的第一行是1、2、...的一個子集。

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