向量外積

把向量外積定義為：

|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b>.

方向根據右手法則確定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心由a轉向b的過程中，大拇指的方向就是外積的方向。

基本介紹

• 中文名：向量外積
• 公式：|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b>
• 性質：外積的反對稱性
• 概念：大拇指方向垂直於該平面的方向

定義

把向量外積定義為：

|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b>.

方向根據右手法則確定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直於該平面的方向，被規定為外積的方向。

運算

向量外積的代數運算形式為：

|e(i) e(j) e(k)|

a×b=| x(a) y(a) z(a) |

| x(b) y(b) z(b) |

這個行列式，按照第一行展開。e表示標準單位基。

分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。

下面給出代數方法。我們假定已經知道了：

1）外積的反對稱性：

a×b= -b×a.

這由外積的定義是顯然的。

2）內積（即數積、點積）的分配律：

a·（b+c）=a·b+a·c,

（a+b）·c=a·c+b·c.

這由內積的定義a·b= |a|·|b|·cos<a,b>；，用投影的方法不難得到證明。

3）混合積的性質：

定義（a×b）·c為向量a,b,c的混合積，容易證明：

i) （a×b）·c的絕對值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負號由a,b,c的定向決定（右手系為正，左手係為負）。

從而就推出：

ii)a·（b×c）=b·（c×a）=c·（a×b）

所以我們可以記a,b,c的混合積為（a,b,c）

推理

由i）還可以推出：

iii) （a,b,c）= （b,c,a）= （c,a,b）

還有一條結論：

iv) 若一個向量a同時垂直於三個不共面矢a1,a2,a3，則a為零向量或高維空間向量。

下面我們就用上面的1）2）3）來證明外積的分配律。

設r為空間任意向量，在r·[a×（b + c）]里，交替兩次利用3）的ii）、iii）和數積分配律2），就有

r·[a×（b+ c）]

= （r×a）·（b + c）

= （r×a）·b + （r×a）·c

= r·（a×b）+ r·（a×c）

= r·（a×b + a×c）

移項，再利用數積分配律，得

r·[a×（b + c）- （a×b + a×c）] = 0

這說明向量a×（b + c）- （a×b + a×c）垂直於任意一個向量。按3）的iv），這個向量必為零向量，即

a×（b + c）- （a×b + a×c）= 0

所以有

a×（b + c）= a×b + a×c.

證畢。

三向量的外積

a×（b×c）=（a·c）b-（a·b）c。