基本介紹
- 中文名：二重向量
- 外文名：Bivector
- 領域：數學
- 適用領域：線性代數
簡介,歷史,赫爾曼·格拉斯曼,克利福德代數,外代數,偽矢量,
簡介
在幾何中，以一般化的觀點來說，標量是零維的幾何量，向量是一維的有向幾何量，依此類推，我們可以有二維的有向幾何量。幾何代數中的外代數（exterior algebra）採用了這個一般化的觀點定義了二重向量（bivector）。一個二重向量亦即二維的有向幾何量，它是一個有向面積。
二重向量是使用外積（exterior product）來產生的：令a與b為向量，它們的外積a∧b即為一個二重向量，代表由a與b圍成的平行四邊形面積，其方向為a到b的時針方向。所以，外積是反對稱的，a∧b的方向恰與b∧a相反。另外，a∧a是一個“零二重向量”。
有時候，三維的二重向量被拿來當作一種偽向量。
歷史
德國數學家赫爾曼·格拉斯曼於1844年的《線性外代數》論文中，將二重向量以二向量外積的方式介紹出來。同時期，愛爾蘭數學家威廉·哈密頓於1843年發表了四元數。1888年，英國數學家威廉·金頓·克利福德結合二者並發表了克利福德代數，二重向量才被完整的了解。
赫爾曼·格拉斯曼
赫爾曼·京特·格拉斯曼（Hermann Günther Graßmann，1809年4月15日－1877年9月26日），出生於什切青，是一個德國博學者，在他生活的時代以語言學家身份聞名，以數學家身份而著稱。他也是一位物理學家，新人道主義者，博學的學者，和出版家。
克利福德代數
克利福德代數（Clifford algebra），又稱幾何代數（Geometric algebra），是綜合了內積和外積兩種運算，在幾何和物理中在很多套用的一門數學學科。克利福德代數是複數、四元數和外代數的推廣。
外代數
外代數（英語：Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代數（Grassmann algebra），以紀念赫爾曼·格拉斯曼。
數學上，給定向量空間V的外代數，是特定有單位的結合代數，其包含了V為其中一個子空間。它記為 Λ(V) 或 Λ(V)而它的乘法，稱為楔積或外積，記為∧。楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在V上交錯的，也就是：
注意這三個性質只對V中向量成立，不是對代數Λ(V)中所有向量成立。外代數事實上是“最一般的”滿足這些屬性的代數。這意味著所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。
形式為v1∧v2∧…∧vk的元素，其中v1,…,vk在V中，稱為k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空間稱為V的k-階外冪，記為Λ(V)。外代數可以寫作每個k階冪的直和：
該外積有一個重要性質，就是k-向量和l-向量的積是一個k+l-向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由k給出。這些k-向量有幾何上的解釋：2-向量u∧v代表以u和v為邊的帶方向的平行四邊形，而3-向量u∧v∧w代表帶方向的平行六面體，其邊為u,v, 和w。
偽矢量
偽矢量（英語：Pseudovector），指的是在瑕旋轉下，除了隨之反射外，還會再上下翻轉的矢量（因為右手定則的關係）。矢量（極矢量）和偽矢量（軸矢量）都是廣義上的矢量，在一般旋轉下的特性相同。但更嚴格地說，矢量還要求在瑕旋轉下，除了空間反衍外，不會再改變方向。
在三維空間中，偽矢量p可以表示為二個極矢量a和b的外積：
