反比例函式:定義,表達式,函式圖象,函式性質,單調性,相交性,面積,圖像表達,對稱

反比例函式的圖像屬於以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線（hyperbola）,反比例函式圖象中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（y≠0）。

一般地，如果兩個變數x、y之間的關係可以表示成y=k/x (k為常數，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函式。因為y=k/x是一個分式，所以自變數X的取值範圍是X≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x^（-1）。表達式為：x是自變數，y是因變數，y是x的函式。

基本介紹

中文名：反比例函式
外文名：inverse proportional function
公式：y=k/x，其中k∈(-∞,0)∪(0,+∞)
定義域：{x|x≠0}
值域：(-∞,0)∪(0,+∞)
k大於0時：一、三象限
k小於0時：二、四象限
套用範圍：幾何、數學，計算機等
圖像對稱性：軸對稱，中心對稱圖形

定義,表達式,函式圖象,函式性質,單調性,相交性,面積,圖像表達,對稱性,套用舉例,例1,例2,例3,例4,知識與概念,概念理解,重點知識,延伸,

定義

一般的，如果兩個變數x，y之間的關係可以表示成

(k為常數，k≠0，x≠0），其中k叫做反比例係數，x是自變數，y是x的函式，x的取值範圍是不等於0的一切實數,且y也不能等於0。k>0時，圖象在一、三象限。k<0時，圖象在二、四象限。k的絕對值表示的是x與y的坐標形成的矩形的面積。

表達式

x是自變數，y是因變數，y是x的函式

（即：y=kx^-1）

(k為常數且k≠0，x≠0）

若此時比例係數為：

自變數的取值範圍

① 在一般的情況下 , 自變數 x 的取值範圍可以是不等於0的任意實數。

② 函式 y 的取值範圍也是任意非零實數。

解析式

其中x是自變數，y是x的函式，其定義域是不等於0的一切實數，

即 {x|x≠0,x屬於R這個範圍。R是實數範圍。也就是x是實數}。

下面是一些常見的形式：y*x=-1,y=x^(-1)*k（k為常數(k≠0），x不等於0）

函式圖象

當k>0時，兩支曲線分別位於第一、三象限內；當k<0時，兩支曲線分別位於第二、四象限內，兩個分支無限接近x和y軸，但永遠不會與x軸和y軸相交.

圖象畫法

1）列表

x	...	-3	-2	-1	1	2	3	4	...
y	...	-4	-6	-12	12	6	4	3	...

2）在平面直角坐標系中標出點。

3）用平滑的曲線連線點。

當K>0時，在圖象所在的每一象限內，Y隨X的增大而減小。
當K<0時，在圖象所在的每一象限內，Y隨X的增大而增大。

當兩個數相等時那么曲線呈彎月型。

k的意義及套用

過反比例函式

（

）圖象上任意一點P（x,y），作兩坐標軸的垂線，兩垂足、原點、P點組成一個矩形，矩形的面積為

。過反比例函式圖象一點，作任一坐標軸的垂線，並連線原點，圍成的三角形的面積為

。

研究函式問題要透視函式的本質特徵。反比例函式中，比例係數k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函式圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積為

。

所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。這個常數是k的絕對值。在解有關反比例函式的問題時，若能靈活運用反比例函式中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。

函式性質

單調性

當k>0時，圖象分別位於第一、三象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而減小；

當k<0時，圖象分別位於第二、四象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而增大。

k>0時，函式在x<0上同為減函式、在x>0上同為減函式；k<0時，函式在x<0上為增函式、在x>0上同為增函式。

相交性

因為在

(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函式的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

面積

在一個反比例函式圖像上任取兩點，過點分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為|k|，

反比例函式上一點向x 、y 軸分別作垂線，分別交於y軸和x軸，則QOWM的面積為|k|，則連線該矩形的對角線即連線OM,則RT△OMQ的面積=½|k|。

圖像表達

反比例函式圖象不與x軸和y軸相交的漸近線為：x軸與y軸。

k值相等的反比例函式圖象重合，k值不相等的反比例函式圖象永不相交。

|k|越大，反比例函式的圖象離坐標軸的距離越遠。

對稱性

反比例函式圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函式的圖象也是軸對稱圖形，其對稱軸為y=x或y=-x；反比例函式圖象上的點關於坐標原點對稱。

圖象關於原點對稱。若設正比例函式y=mx與反比例函式交於A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關於原點對稱。

反比例函式關於正比例函式y=±x軸對稱,並且關於原點中心對稱。

套用舉例

例1

反比例函式圖象上有一點P（m, n）其坐標是關於t的一元二次方程 t^2+3t+k=0的兩根，且P到原點的距離為根號13，求該反比例函式的解析式．

分析：

要求反比例函式解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關於k的方程．

解：∵ m, n是關於t的方程的兩根

∴ m+n=-3，mn=k,

又∵P到原點的距離為根號13

m＾2+n＾2=13, m+n=-3;

∴ (m+n)＾2-2mn=13, m+n=-3；

∴ 9-2k=13

∴ k=-2

∴該反比例函式的解析式為y=-2/x.

例2

直線與位於第二象限的雙曲線相交於A、A1兩點，過其中一點A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求：

（1）求雙曲線的解析式

分析：矩形aboc的邊AB和AC分別是A點到x軸和y軸的垂線段，設A點坐標為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|，

根據矩形的面積公式知|m·n|=6.

由已知條件知，該雙曲線位於第二、四象限，因此，A點坐標值異號，

即雙曲線的解析式為xy=-6.例3

已知一次函式y=-x+6和反比例函式 y=x/k（k≠0）

（2）k滿足什麼條件時，這兩個函式在同一坐標系中的圖像有兩個交點？

（3）當圖像有兩個交點時（設為A和B），判斷∠AOB是銳角、鈍角還是直角？說明理由。解（1）一次函式y=-x+6和反比例函式y=x/k（k不等於零）有兩個交點，即

化簡的有兩個交點則方程有兩個不同的解

即所以k<9且k不等於0

（2）當0<k<9時兩交點在第一象限所以∠AOB是銳角當k<0時兩交點分別在第二和第四象限所以∠AOB是鈍角

例3

已知函式.

（1）當m為何值時，y是x的正比例函式?

（2）當m為何值時，y是x 的反比例函式？

解（1）正比例函式則x次數是1

(m-2)(m+1)=0

m=2,m=-1

係數不等於0

m-1≠0

所以m=2,m=-1

（2）反比例函式則x次數是-1

m(m-1)=0

m=0,m=1

係數不等於0

m-1≠0

所以捨去m=1

因此m=0

例4

一矩形的面積為24，則該矩形的長x cm與寬y cm之間的關係是什麼?請寫出函式表達式，若要求矩形的各邊長均為整數，請畫出所有可能的的矩形。

解面積xy=24

函式表達式(x>0)

矩形的各邊長均為整數

可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24

知識與概念

概念理解

形如

(k為常數且k≠0)的函式，叫做反比例函式。

自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。

反比例函式圖象性質：反比例函式的圖象為雙曲線。

由於反比例函式屬於奇函式，有對稱中心，圖象關於原點對稱。

另外，從反比例函式的解析式可以得出，在反比例函式的圖象上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函式圖象。

當K>0時，反比例函式圖象經過一，三象限，是減函式

當K<0時，反比例函式圖象經過二，四象限，是增函式

反比例函式圖象只能無限趨向於坐標軸，無法和坐標軸相交。

重點知識

過反比例函式圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。
對於雙曲線，若在分母上加減任意一個實數m(m為常數)，就相當於將雙曲線圖象向左或右平移m個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）

延伸

設n為正整數，則n的所有取值所對應的函式

交於（1，1）和（-1，-1），且當n越大並且x>1時，,圖像離坐標軸近；當n越大並且0<x<1時，圖像離坐標軸遠；當n越大並且-1<x<0時，圖像離坐標軸遠；當n越大並且-1>x時，圖像離坐標軸近。

設n為正整數，則n的所有取值所對應的函式

交於（-1，1）和（1，1），且當n越大並且x>1時，,圖像離坐標軸近；當n越大並且0<x<1時，圖像離坐標軸遠；當n越大並且-1<x<0時，圖像離坐標軸遠；當n越大並且-1>x時，圖像離坐標軸近。

設n為正整數，則n的所有取值所對應的函式和交於（1，1）。

反比例函式