基本介紹
- 中文名：混差法
- 外文名：method of mixed differences
- 別稱：對稱重差法
- 所屬學科：數學（組合數學）
- 簡介：構造BIBD設計的一種直接方法
- 提出者：玻色(R.C.Bose)
基本介紹,例題解析,相關定理,
基本介紹
下面所介紹的構作(v，k，λ)-BIBD的直接構作方法通常稱為Bose的“對稱重差法”或“混差法”。
設(X，
)是一個(v，k，λ)-BIBD，它有一個m階的自同構群A，α∈A稱為設計的自同構，它變X為自身，且把 變為自身，我們還假設A是可換群，運算用“+”表示，則X的元素在A作用下被非成一些軌道，設第i個元素軌道中任一固定元記為(0)i，這裡0是群的零元，當α∈A時，(0)i在自同構α作用下的象α((0)i)記作(α)i。一般地可能當α≠β時，(α)i=(β)i，此時將有A的一個子群固定(0)i。特別地，當這一固定子群為{0}時，只要α≠β，必有(α)i≠(β)i，從而第i個元素軌道恰含m個元素，另一極端情形是(0)i的固定子群為A，此時對任意α∈A，(α)i=(0)i，從而這一元素軌道只含一個元素，這樣的元素將記作
，或簡記作
。
例題解析
【例1】設x={(i)j|i∈Z5，j∈Z3={1，2，3}}的加群為其自同構,群，這裡(i)j簡記為ij，這35個區組在自同構群Z5的作用下分成7個區組軌道，每個軌道中取第一個區組作為代表，則得一基底{01，12，42}，{01，22，32}，{02，13，43}，{02，23，33}，{03，11，41}，{03，21，31}，{01，02，03}．同一軌道中其餘區組是由第一個區組經Z5作用所得，事實上，經Z5中1的作用從每一區組可得下一個區組。
【例2】設X=Z15，如下所示，則(X，)也是一個(15，3，1)-BIBD，該設計有自同構群Z15．區組軌道有三個，基底為{0，1，4}，{0，7，13}，{0，5，10}，值得注意的是，第三個軌道較短，這是因為Z15中有3個自同構α=0，5，10能固定區組{0，5，10)，即w=3，故該軌道大小為
，對另外二個軌道而言，固定{0，1，4}，{0，7，13}的Z15的子群為{o}，故這二個長軌道大小均為15/1=15。
相關定理
現在從一個給定的m階可換群A出發，考慮集X=X1或X2，其中X1={(a)j |a∈A且a≠b時(a)j≠(b)j，j=1，2，...，n}，X2=X1∪{(
)n+1)。顯然，|X1|=mn而|X2|=mn+1，設B=
是集X的一個k元子集，{B}是若干個這樣的k元子集的族，需要有一個方法來判斷{B}是否能作為基底，使得由{B}經群A的作用而得到的所有區組的族 能構成一個(v，k，λ)-BIBD，其中v=|X|，為此，稱ai-at是B的(ji，jt)-差，當ji=jt時，稱之為純差；當ji≠jt時，稱之為混差，以下是這樣的一個方法。
定理1 設可換群A，集X，X的k元子集族{B}，以及 如上一段所述，如果每一個非零純差和每一個混差在由{B}中所有{B}所得的差中各出現λ次，則(X， )是一個(v，k，λ)-BIBD，以{B}為基底且A為其自同構群，這裡在計算次數時，如果B被A的某個w階子群所固定，A中某元素在由B所得的差中出現的次數應按實際出現次數的w分之一計算。
定理2 設A是模2t+1的剩餘類環Z2t+1的加群，則以下是(6t+3，3，1)-BIBD的初始區組
{11，(2t)1，02}，.，..{i1，(2t+1-i)1，02}，...，{t1，(t+1)1，02}，
{12，(2t)2，03}，...，{i2，(2t+1-i)2，03}，...，{t2，(t+1)2，03)，
{13，(2t)3，01}，...，{i3，(2t+1-i)3，01}，...，{t3，(t+1)3，01}，
{02，02，03}.
當t=2時，該定理給出的設計就是例1中的設計。
定理3 設A是剩餘類環Z3m的加群，其中m=2t+1
(mod 3)，設{w，u}使得
w≡u≡1(mod 3)，
w+u≡0(mod m)， w，u 0(mod m)．
當t=2時，該定理給出的設計就是例2中的設計。
以上兩個定理中自同構群均是某個剩餘類環的加群，下面將取其為某個有限域的加群A。
定理4 設v=6t+1=pn，p為素數，以x記有限域CF(pn)的一個原根，則存在一個(6t+1，3，1)-BIBD以A為自同構群且初始區組為
