有限域

有限域亦稱伽羅瓦域（galois field），是僅含有限個元素的域,它是伽羅瓦(Galois,E.)於18世紀30年代研究代數方程根式求解問題時引出的.有限域的特徵數必為某一素數p,因此它含的素域同構於Zp.若F是特徵為p的有限域,則F中元素的個數為pⁿ,n為某一正整數.元素個數相同的有限域是同構的.因此,通常用GF(pⁿ)表示pⁿ元的有限域.GF(pⁿ)的乘法群是(pⁿ-1)階的循環群.有限域在近代編碼、計算機理論、組合數學等各方面有著廣泛的套用.

基本介紹

• 中文名：有限域
• 外文名：finite field
• 別稱：伽羅瓦域（galois field）
• 發現者：伽羅瓦(Galois,E.)
• 定義：僅含有限個元素的域。
• 套用領域：近代編碼、計算機理論等

概念

在抽象代數中，域是一種可進行加、減、乘和除運算的代數結構。域的概念是數域以及四則運算的推廣。域是環的一種。域和一般環的區別在於域要求它的元素可以進行除法運算，這等價於每個非零的元素都要有乘法逆元。同時，在現代定義中，域中元素關於乘法是可交換的。簡單來說，域是乘法可交換的除環。乘法非交換的除環則稱為體，或者反稱域。在過去的定義中，除環被稱為“域”，而現代意義上的域被稱為“交換域”，包含有限個元素的域被稱為有限域。

實際上，域是一個可以在其上進行加法、減法、乘法和除法運算而結果不會超出域的集合。如有理數集合、實數集合、複數集合都是域，但整數集合不是（很明顯，使用除法得到的分數或小數已超出整數集合）。

如果域F只包含有限個元素，則稱其為有限域。有限域中元素的個數稱為有限域的階。儘管存在有無限個元素的無限域，但只有有限域在密碼編碼學中得到了廣泛的套用。每個有限域的階必為素數的冪，即有限域的階可表示為pⁿ（p是素數、n是正整數），該有限域通常稱為Galois域(Galois Fields)，記為GF(pⁿ)。

當n=1時，存在有限域GF（p），也稱為素數域。在密碼學中，最常用的域是階為p的素數域GF（p）或階為 的GF( )域。

有限域中的計算

一切有限域都有加法和乘法兩種運算，並必須滿足以下條件：

1．封閉性：若任意兩元素a·b∈GF(q)，則有

a+b∈GF(q) a·b∈GF(q)

2．結合律：若任意a、b、c∈GF(q)，則有

(a+b)+c=a+(b+c)，(a·b)c=a(b·c)

3．交換律：若任意a、b∈GF(q)，則有

a+b=b+a，a·b=b·a

4．有乘法恆等元e和加法恆等元0，使任意元素a∈GF(q)都有：

a+0=a， a·e=a

5．任意元素a∈GF(q)都有乘法逆元素 和加法負元素(-a)，使

a+(-a)=0

但 叫無定義。

6．乘對加分配律:任意a、b、c∈GF(q)有

a(b+c)=a·b+a·c

有限域的結構

1．有限域的乘法結構

域的全體非0元素集合構成交換乘群；全體元素集合構成交換加群。有限域的元素個數是有限的。因此，全體非0元素集合構成有限乘群，乘群中每個元素的級為有限。並可以證明，該群必由群中的一個元素生成，且是循環群。

2．有限域的加法結構

在域中必有乘法單位元1，若作1+1+1+…運算，對無限域來說，則有可能n·1≠o，但在有限域中，1+1+…+1=0，否則該域必成為無限域。例如，在GF(2)中，1+1=0。

相關定理

定理1 一個有限域E有pⁿ個元素，這裡p是E的特徵，而n是E在它的素域△上的次數。

定理2 令有限域E的特徵是素數p，E所含的素域是△，而E有q=pⁿ個元素，那么E就是多項式 在△上的分裂域。任何兩個這樣的域都同構。

定理3 令△是特徵為p的素域，而q=pⁿ(n≥1)，那么多項式 在△上的分裂域E就是一個有q個元的有限域。

定理4 一個有限域E是它的素域△的一個單擴域。