初等複變函數是實變數初等函式在複數域中的推廣。復變數的初等函式的定義形式上與初等函式相同，只不過它們的定義域已由實數集合推廣到複數域中。
基本介紹
- 中文名：初等複變函數
- 外文名：elementary functions of a complex variable
- 適用範圍：數理科學
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定義
初等複變函數是實變數初等函式在複數域中的推廣。
初等函式
復變數的初等函式
復變數的初等函式的定義形式上與初等函式相同，只不過它們的定義域已由實數集合推廣到複數域中。
性質
實變數的初等函式推廣到複數域後，在實數域中保持它們原有的性質，但在複數域中具有一些新的性質，如復變指數函式的周期性、復變對數函式的無窮多值性、復變正弦函式與復變餘弦函式的無界性等。
從這些新的性質可以看出，只有把這些函式從實數域推廣到複數域，才能更全面、更深刻地揭示它們的本質。
類型
復變根式函式
(radical function of a complex variable)
復變根式函式是實變數根式函式在複數域中的推廣。
形如，
的函式稱為復變根式函式，其中n是大於 1的正整數，a是復常數。
復變指數函式
(exponent function of a complex variable)
復變指數函式是實變數指數函式在複數域中的推廣。
形如ez=ex+iy=ex(cos y+isin y)的函式稱為復變指數函式。
復變一般指數函式
(general exponent function of a complex variable)
復變一般指數函式是實變數一般指數函式在複數域中的推廣。
復變冪函式
(power function of a complex variable)
復變冪函式是實變數冪函式在複數域中的推廣。
形如w=za-ealogz(z≠0，∞，a為復常數)的函式稱為復變冪函式。
復變對數函式
(logarithmic function of a tomplex variable)
復變對數函式是實變數對數函式在複數域中的推廣。
若ew=z(z≠0，∞)，則複數w稱為複數z的對數，記為w=Logz=log|z|+i(arg z+2kπ)(k=0,±1,±2,...}。若限定-π<Im(Log z)≤π，則得到復變對數函式的主值（或主支），記為log z。
復變三角函式
(trigonometric functions of a complex variable)
復變三角函式是實變數三角函式在複數域中的推廣。
復變正弦函式與餘弦函式定義為
。當z為實數時，此定義與數學分析中關於正弦函式和餘弦函式的定義是一致的。
復變正切函式與餘切函式定義為：
。
復變反三角函式
(inverse trigonometric func- dons of a complex variable)
